Cálculo multivariable, tasa de cambio.

Question

Un insecto se mueve en la elipse $2x^2+y^2=3$ en el $xy$ -plano en el sentido de las agujas del reloj a una velocidad constante de 3 centímetros por segundo. La función de temperatura $T(x,y)$ (experimentada por el insecto) viene dada por $T(x,y)=3x^22yx$ , donde $T$ se mide en grados Celsius y $x$ , $y$ se miden en centímetros. ¿Cuál es la tasa de cambio de la temperatura (en grados Celsius por segundo) cuando el insecto está en el punto $(1,1)$ ?

Sugerencia: Deja que $f(x;y)=2x^2+y^2$ . El vector gradiente de $(1,1) = \langle4, 2 \rangle$ es normal a la elipse $f(x,y)=3$ en el punto $(1,1)$ . Utilizando esta información, ¿cómo podemos encontrar fácilmente un vector que sea tangente a la elipse $f(x,y)=3$ y apunta en el sentido de las agujas del reloj?

Mi intento a esta pregunta es en primer lugar, ya que el vector gradiente es un vector normal a la elipse, puedo utilizar la propiedad de que es un vector normal, tal que el vector tangencial, representado por $t$ , $n \cdot t = 0$ . Sin embargo, ¿es posible utilizar simplemente cualquier valor tal que $tx$ y $ty$ ¿puede cumplir esta propiedad? Después, ¿cómo puedo proceder a partir de aquí?

Answer 1

Dejemos que $\vec{v}=\langle4,2\rangle$ . Entonces un vector ortogonal a $\vec{v}$ se puede encontrar intercambiando los componentes y cambiando uno de los signos, por lo que podemos tomar $\vec{t}=\langle2,-4\rangle$ para obtener un vector tangente correspondiente a la dirección de las agujas del reloj; y normalizando este vector se obtiene el vector tangente unitario $\vec{u}=\langle\frac{1}{\sqrt{5}},-\frac{2}{\sqrt{5}}\rangle$ .

Ahora encuentre la derivada direccional de T en la dirección de $\vec{u}$ utilizando

$\;\;\;D_{\vec{u}}T(1,1)=\vec{\nabla T}(1,1)\cdot\vec{u}$

Answer 2

La elipse $\gamma:\> 2x^2+y^2=3$ es una curva de nivel de su función $f(x,y):=2x^2+y^2$ . Por lo tanto, $\nabla f(1,1)=(4,2)$ es ortogonal a la tangente de $\gamma$ en $(1,1)$ . De ello se desprende que uno de $\pm(-2,4)$ es el vector tangente que se busca. Como el movimiento del insecto es en el sentido de las agujas del reloj, una figura nos dice inmediatamente que debemos elegir $v_*:=(2,-4)$ . El vector de velocidad real $v$ del insecto es un múltiplo positivo de $v_*$ pero tiene valor absoluto $3$ . De ello se desprende que $$v=3{(2,-4)\over\sqrt{20}}=\left({3\over\sqrt{5}}, \>-{6\over\sqrt{5}}\right)\ .$$ La temperatura $u(t)$ que siente el insecto en el momento $t$ viene dada por $$u(t)=T\bigl(x(t),y(t)\bigr)\ .$$ Según la regla de la cadena tenemos entonces $$\dot u(t)=\nabla T\bigl(x(t),y(t)\bigr)\cdot\bigl(\dot x(t),\dot y(t)\bigr)\ .$$ Evaluando esto en este momento $t_0$ donde el insecto pasa por el punto $(1,1)$ obtenemos $$\dot u(t_0)=\nabla T(1,1)\cdot v=(4,-2)\cdot\left({3\over\sqrt{5}}, \>-{6\over\sqrt{5}}\right)={24\over\sqrt{5}}\ .$$

Answer 3

Puedes convertir este problema de dos variables en un problema de una variable si parametrizas la elipse como $$ x = \sqrt{\frac32} \cos \theta, y = \sqrt3\sin \theta.$$

ahora podemos encontrar la velocidad angular en $x = 1, y= 1, \cos\theta = \sqrt{\frac23}, \sin\theta=\sqrt\frac13$ si establecemos $$ds = \sqrt{dx^2 + dy^2} = \sqrt{(\frac32\sin^2\theta + 3\cos^2 \theta)}\,d\theta=\sqrt{\frac12+2}d\theta=\sqrt\frac52d\theta.$$

Por lo tanto, en $$x = y = 1,\frac{d\theta}{dt} = \sqrt\frac52, dx=-\sqrt\frac32\sin\theta d\theta=-\sqrt\frac12 d\theta, dy = \sqrt3\cos \theta d\theta=\sqrt 2 d \theta$$

ahora $$dT = d(3x^2 - 2xy)=6xdx-2ydx-2xdy =6dx-2dx-2dy=-4\sqrt2d\theta $$

por lo tanto, $$\frac{dT}{dt} = -4\sqrt 5 $$