haz canónico de la incrustación de Veronese

Question

Supongamos que nos dan una intersección completa $X$ de codimensión $r=n-d$ en $\mathbb{P}^n$ donde los grados de las hipersuperficies son $d_i$ y $d$ es la dimensión de $X$ . Entonces el haz canónico $\omega_X=\mathcal{O}_X(\sum d_i-n-1)$ . Ahora supongamos que incrustamos $X$ a través de un embdding veronés en unos $\mathbb{P}^N$ para algunos $N>>0$ para que uno tenga inclusión $i:X\rightarrow \mathbb{P}^N$ . Por la proposición 8.20 de Hartshorne se puede calcular $\omega_X$ es este caso, pero lo que es el paquete normal $\mathcal{N}_{X/\mathbb{P}^N}$ en este caso?

Answer 1

Supongamos que $M$ subconjunto de $\Bbb R^m$ es un submanifold cerrado incrustado. si $M$ admite una función definitoria global, demuestre que su haz normal es trivial. A la inversa, si $M$ tiene un haz normal trivial, demuestre que existe una vecindad $U$ de $M$ en $\Bbb R^n$ y una inmersión $K$ de $U$ a $\Bbb R^k$ tal que $M=K^{-1}(U)$ .