¿Es también cierto que $\lim_{n\to-\infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n = e^x$ ?

Question

Sabemos que $$\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n = e^x.$$

¿Podemos cambiar el " $n\to\infty$ " a " $n\to-\infty$ "? Es decir, ¿también es cierto lo siguiente? $$\lim_{n\to-\infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n = e^x.$$

Answer 1

Sí, sólo cambiando $x$ a $-x$ obtenemos $(1-\frac x n)^{n} \to e^{-x}$ como $n \to \infty$ . Esto es lo mismo que decir que $(1+\frac x n)^{-n} \to e^{-x}$ como $n \to -\infty$ . Ahora sólo toma recíprocos.

Answer 2

Desde $e^x$ y $\ln$ son funciones continuas, para $x\neq0$ obtenemos: $$\lim_{n\to-\infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n =\lim_{n\to-\infty} \left(\left(1+\frac{x}{n}\right)^\frac{n}{x}\right)^x =e^{x\ln\lim\limits_{n\rightarrow-\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{\frac{n}{x}}}= e^x.$$

Answer 3

Está claro que tenemos $$\lim_{n\to-\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n=\lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{x}{n}\right)^{-n}\tag{1}$$ A continuación demostraremos (más adelante) que $$\lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{x^2}{n^2}\right)^{n}=1\tag{2}$$ que es lo mismo que $$\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n\left(1-\frac{x}{n}\right)^n=1$$ Y esto implica $$\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{x}{n}\right) ^n=\lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{x}{n}\right)^{-n}\tag{3}$$ Y las ecuaciones $(1)$ y $(3)$ completar la prueba.

Esto se basa en la suposición de que para cada real $x$ el límite $$\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n$$ existe y es distinto de cero.

Ahora queda por demostrar la identidad $(2)$ . Esto se puede manejar fácilmente utilizando la desigualdad de Bernoulli y el teorema de Squeeze. Dado que $n\to\infty $ podemos asumir con seguridad $n^2>x^2$ y por tanto por la desigualdad de Bernoulli tenemos $$\left(1-\frac{x^2}{n^2}\right)^n\geq 1-n\cdot\frac{x^2}{n^2}$$ y así tenemos $$1-\frac{x^2}{n}\leq \left(1-\frac{x^2}{n^2}\right)^n\leq 1$$ Ahora usando el teorema de Squeeze nos da la identidad $(2)$ .

Esta prueba evita la identidad $e^{-x} =1/e^x$ utilizado en otra respuesta aquí.