La prueba de la desigualdad de Hölder por la diferenciación

Question

Necesito una referencia donde se puede leer una prueba de la desigualdad de $\|f\|_r\leq \|f\|_p^{1-\theta}\|f\|_q^\theta$ donde $\frac{1}{r}=\frac{1-\theta}{p}+\frac{\theta}{q}$ $L^p$- espacios de medir el espacio con el siguiente método:

diferenciar $p\to \log \| f\|_{\frac1{p}}$ dos veces y observar que el resultado es positivo.

Comentario: la desigualdad es equivalente a la desigualdad de Hölder.

Answer 1

Realizar la diferenciación: $$ \begin{align} \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}p^2}\log\left(\int|f(x)|^p\;\mathrm{d}x\right) &=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}p}\frac{1}{\int|f(x)|^p\;\mathrm{d}x}\int\log(|f(x)|)\;|f(x)|^p\;\mathrm{d}x\\ &=-\frac{1}{\left(\int|f(x)|^p\;\mathrm{d}x\right)^2}\left(\int\log(|f(x)|)\;|f(x)|^p\;\mathrm{d}x\right)^2\\ &\phantom{=}+\frac{1}{\int|f(x)|^p\;\mathrm{d}x}\int\log(|f(x)|)^2\;|f(x)|^p\;\mathrm{d}x\tag{1} \end{align} $$ y la desigualdad de Jensen dice que, debido a $x\mapsto x^2$ es convexa, $$ \frac{1}{\int|f(x)|^p\;\mathrm{d}x}\int\log(|f(x)|)^2\;|f(x)|^p\;\mathrm{d}x\ge\left(\frac{1}{\int|f(x)|^p\;\mathrm{d}x}\int\log(|f(x)|)\;|f(x)|^p\;\mathrm{d}x\right)^2\tag{2} $$ Ecuaciones $(1)$ $(2)$ muestran que $$ \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}p^2}\log\left(\int|f(x)|^p\;\mathrm{d}x\right)\ge0 $$ por lo tanto, $p\mapsto\log\left(\int|f(x)|^p\;\mathrm{d}x\right)$ es una función convexa. Por lo tanto, desde el $\frac{1}{r}=\frac{1-\theta}{p}+\frac{\theta}{q}$, obtenemos $$ \frac{1}{r}\log\left(\int|f(x)|^r\;\mathrm{d}x\right)\le\frac{1-\theta}{p}\log\left(\int|f(x)|^p\;\mathrm{d}x\right)+\frac{\theta}{q}\log\left(\int|f(x)|^q\;\mathrm{d}x\right) $$ que se convierte en $$ \|f\|_r\leq \|f\|_p^{1-\theta}\|f\|_q^\theta $$