He empezado a estudiar conceptos de física, en Matemáticas solemos definir $f$ para ser alguna función que aplicamos a una variable $x$ mientras que en el trabajo de Física y Mecánica a veces encuentro que la gente suele definir $F$ para ser la fuerza y utilizar la notación como $F(t)$ y realizará una operación de reordenación utilizando una función, por ejemplo, la posición $S(t)$ para determinar lo que titulan $F(s)$ una función que es igual a $F(t)$ como si $F$ es sólo una variable libre y no denota simplemente una función - donde quizás debería ser $F(G(s))$ donde $t=G(s)$ ¿es un error en mi razonamiento o una forma diferente de hacer las cosas?
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Sora
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No diría que se trata de una particularidad de físicos , más bien es algo que ocurre cuando hay que hablar de varias funciones similares que son "moralmente" iguales pero que en sentido estricto son funciones diferentes.
Por ejemplo, cuando se encuentra "la fuerza" una vez expresada como $F(s)$ y una vez como $F(t)$ En efecto, se trata de dos funciones diferentes en sentido estricto, una del espacio de los desplazamientos espaciales al espacio de los vectores de fuerza y otra del espacio de los desplazamientos temporales al espacio de los vectores de fuerza. Están conectadas en el sentido de que se tiene una función (localmente) invertible $s(t)$ del espacio de los desplazamientos temporales al espacio de los desplazamientos espaciales que describe un movimiento y así se puede describir la fuerza ya sea definiendo $F(s)$ y luego " $F(t)$ " es realmente $F(s(t))$ o definiendo $F(t)$ y luego " $F(s)$ " es realmente $F(t(s))$ donde también notarás que llamamos a la inversa de $s(t)$ sólo $t(s)$ y no $s^{-1}$ o algo así.
Lo que físicamente estamos tratando de decir aquí es que hay "una fuerza" a lo largo del "movimiento". En realidad no atención si describimos un punto del movimiento espacialmente o temporalmente, las dos descripciones son equivalentes a través de la invertible $s(t)$ . Los detalles de cómo se definen las funciones específicas en sentido estricto no siempre son relevante a lo que estamos haciendo, y por eso se eluden convenientemente con esta notación - ¡pero requiere tener cuidado sobre cómo funcionan "realmente" las cosas cuando tienes que hacer matemáticas como la regla de la cadena para las derivadas!
De forma más general, verás este tipo de elisión también en otros contextos matemáticos en los que intervienen funciones invertibles (o, de forma más abstracta, isomorfismos) y la diferencia entre una función y una función concatenada con ese isomorfismo se vuelve turbia en el texto: Cuando se tiene $f$ y un invertible $g$ En particular, cuando $g$ es "obvio" o "natural" en algún sentido, entonces la "diferencia" entre hablar de $f$ y $f\circ g$ o $f' := f\circ g$ y $g^{-1}\circ f'$ o lo que sea se vuelve bastante intrascendente mientras todo el mundo sea consciente de lo que está pasando.
Un ejemplo de esto es cuando hablamos de funciones en colectores y gráficos - hablamos de una función escalar $f : M\to \mathbb{R}$ "en el colector" y entonces alguien escribirá alguna expresión, por ejemplo $f(x_1,x_2) = x_2$ para ella en un sistema de coordenadas particular, pero estrictamente hablando, la función en el sistema de coordenadas es una función $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ y no puede ser "la misma función" que $f$ pero después de la primera semana de aprender cómo funcionan los gráficos y las coordenadas nadie utilizará alguna vez un símbolo diferente para estas dos funciones "diferentes" a menos que sea de alguna manera específicamente relevante para su punto. Piense en la función $f(x,y) = x^2 + y^2$ en $\mathbb{R}^2$ y cómo la gente también podría escribir $f(r,\theta) = r^2$ para ella en coordenadas esféricas - si quieres, puedes quejarte de que hemos utilizado el mismo símbolo para funciones formalmente "diferentes", pero no es así como pensamos realmente en las funciones.
Jos Gibbons
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Usted puede decidir por sí mismo el grado de idiosincrasia de las prácticas que resumo a continuación:
- $F=F(t)$ para todos $t$ significa que hay una función $F_t$ de $t$ valores a $F$ valores tales que, para todos los tiempos $t$ , $F=F_t(t)$ .
- $F=F(s)$ para todos $s$ significa lo mismo pero para $s$ , es decir, una función $F_s$ . Escribir $s$ como una función $s_t$ de $t$ , $F_t=F_s\circ s_t$ . Esta ecuación identifica las funciones $F_t,\,F_s$ en cierto sentido, lo que motiva que sólo se escriba $F$ todo el tiempo.
- Sólo para completar: $F=F(t)$ con un $t$ en mente significa que, para la función $F_t$ mencionado en el primer punto, $F$ tiene valor $F_t(t)$ en ese momento. Del mismo modo, con $F=F(s)$ o $s=s(t)$ .
