Probabilidad para la distribución binomial negativa

Question

Una de las parametrizaciones de la distribución binomial negativa es NB( $m,r$ ), $$\Pr(X = k) = \left(\frac{r}{r+m}\right)^r \frac{\Gamma(r+k)}{k! \, \Gamma(r)} \left(\frac{m}{r+m}\right)^k \quad\text{for }k = 0, 1, 2, \dots. $$ Me gustaría considerar la parametrización NB( $m$ , $\phi$ ) donde $\phi=1+\frac{m}{r}$ . Me gustaría encontrar la estimación de máxima verosimilitud y su error estándar de $m $ y $\phi$ . ¿Puedo utilizar el paquete R existente que encuentra el MLE para $m, r$ y sólo hay que poner $\hat{\phi}=1+\hat{m}/\hat{r}$ . O tengo que usar alguna probabilidad de perfil para fijar uno de los parámetros.

Answer 1

Una de las cosas buenas de los estimadores de máxima verosimilitud es que son invariables a las transformaciones de los parámetros (transformaciones de uno a uno en todo caso). Así que puede tomar $\hat{\phi}=1+\hat{m}/\hat{r}$ .

Answer 2

En realidad, me gustaría discrepar ligeramente de una respuesta anterior. Sí es cierto que las estimaciones ellos mismos que provienen de un MLE son, en efecto, invariantes a las transformaciones de los parámetros, por lo que es correcto que se puede simplemente tomar $\hat{\phi} = 1 + \hat{m}/\hat{r}$

Sin embargo, la pregunta también se refería a la estimación del error estándar (o en términos más completos, el matriz de covarianza ) de las estimaciones $\hat{\phi}$ y $\hat{m}$ también. Estos no son invariables, especialmente bajo una transformación no lineal como ésta. Para calcular una aproximación de primer orden al error estándar (o más bien, a la matriz de covarianza) bajo tal cambio de variables, es necesario calcular un Jacobiano . Sección 2 de esta referencia describe cómo utilizar el jacobiano $J$ para transformar las incertidumbres; esencialmente $C^{'} = JCJ^{T}$ . Alternativamente, las ecuaciones 3, 9 y 17 de esta referencia también esbozar el concepto básico bastante bien. Para una transformación no lineal de variables como la de esta pregunta, la aproximación de primer orden mediante el jacobiano puede dar a veces resultados pobres. Si una estimación precisa del error es importante para usted, es posible que desee explorar un transforme sin perfume que es un marco numérico aproximadamente equivalente para realizar los mismos tipos de cálculos.