Elementos positivos: ¿Descomposición?

Question

Problème

Dado un álgebra C* con unidad $1\in\mathcal{A}$ .

Entonces cada elemento autoadjunto se descompone en positivos: $$A=A^*:\quad A=\frac12(|A|-A)-\frac12(|A|-A)\quad\left(\frac12(|A|\pm A)\geq0\right)$$

Sin embargo, también se tiene la dcomposición especial: $$A=A^*:\quad A=\frac12(\|A\|1+A)-\frac12(\|A\|1-A)\quad\left(\frac12(\|A\|1\pm A)\geq0\right)$$

En general, se diferencian como $|A|\neq\|A\|1$ . Pero la descomposición positiva es única, ¿no?

Descargo de responsabilidad

Este hilo pretende ser un resumen. Para más información ver:

• Blog de la SE: Responde a tu propia pregunta
• MSE meta: Responder a la propia pregunta

(¡La segunda revela especialmente la opinión de la comunidad!)

Answer 1

El ingrediente que falta es la ortogonalidad: $A_+A_-=A_-A_+=0$

Los primeros son: $$\frac12(|A|\pm A)\frac12(|A|\mp A)=\frac{1}{4}(|A|^2-A^2)=0$$ mientras que los últimos no lo son: $$\frac12(\|A\|1\pm A)\frac12(\|A\|1\pm A)=\frac12(\|A\|^21-A^2)\neq0$$ Por tanto, ¡sólo los primeros corresponden a la descomposición única!