¿Ansatz más general para la métrica con simetría cilíndrica en la RG?

Question

¿Cómo sería el Ansatz más general para una métrica con simetría cilíndrica en la RG?

Para que esta pregunta sea más sustancial, he aquí un ejemplo de lo que tengo en mente. Hago esta pregunta en el espíritu de cómo la solución de Schwarzschild puede derivarse de un Ansatz. Para Schwarzschild, como por ejemplo se describe en el libro de Carrolls, empezamos primero con el espacio plano de Minkowski

$$ds_{\text{Minkowski}}^2=-dt^2+dr^2+r^2d\Omega$$

y generalizarlo modificando los componentes. En primer lugar, asumimos la independencia del tiempo, así como la simetría de la inversión del tiempo, lo que significa que cualquier término debe ser independiente de $t$ y cualquier componente cruzado $dtdx_i$ debe desaparecer. Entonces, la simetría esférica perfecta exige que el $d\Omega^2$ parte de la métrica no cambia. Por último, definiríamos el $r$ coordenada tal que el Ansatz más general se convierte en:

$$ds^2=-e^{2\alpha(r)}dt^2+e^{2\beta(r)}dr^2+r^2d\Omega^2$$

Ahora, en el caso de la simetría cilíndrica me interesa un Ansatz que no asuma la independencia del tiempo ni la simetría de la inversión del tiempo. Estoy tentado de escribir

$$ds_{\text{cylinder}}^2=-e^{2\alpha(t,r,z)}dt^2+e^{2\beta(t,r,z)}dr^2+r^2d\phi^2+e^{2\gamma(t,r,z)}dz^2$$

Pero me parece que esta expresión descuida algunas componentes cruzadas entre diferentes variables que también tendrían que aparecer. ¿Qué opinan ustedes?

PS:

Además, tenga en cuenta que estoy incluyendo un $z$ -de los factores. Un cilindro perfecto tendría una invariancia de traslación en el $z$ -dirección. Pero lo que me interesa es una situación en la que sólo hay un vector asesino $\partial_\phi$ , pero sin vector de muerte $\partial_z$ .

Answer 1

Según "Soluciones exactas de las ecuaciones de campo de Einstein", la métrica cilíndrica simétrica más general es

\begin{equation} ds^2 = e^{-2U} (\gamma_{MN} dx^M dx^N + W^2 d\phi^2) + e^{2U} (dz + A d\phi)^2 \end{equation}

Con vectores asesinos $\eta = \partial_\phi$ y $\zeta = \partial_z$ y todas las funciones independientes de $z$ y $\phi$ . Las otras dos coordenadas se pueden elegir de forma que

\begin{equation} \gamma_{MN} dx^M dx^N = e^{2k}(d\rho^2 - dt^2) \end{equation}

Además, si también tiene la simetría de reflexión $\phi \rightarrow -\phi$ y $z \rightarrow -z$ , $A$ se puede hacer que sea 0.

Editar :

Si sólo tiene un vector de muerte para $\phi$ No es cilíndricamente simétrico, es un espaciotiempo axisimétrico. Para un solo vector de Killing, lo que generalmente se puede hacer es eliminar la dependencia de la coordenada de la métrica y eliminar los términos cruzados con esa coordenada.