Límites superiores para reguladores de campos cuadráticos reales

Question

Tenemos una cota inferior elemental para el regulador de un campo cuadrático real en función del discriminante

$$R\geq \tfrac{1}{2}(\sqrt{d-4}+\sqrt{d})$$

Es agudo porque la igualdad se mantiene infinitamente para $d=x^2+4$ .

El problema de encontrar un buen límite superior parece mucho más complicado, pero todavía hay un límite muy bonito (y relativamente fácil) para $\mathbb{Q}(\sqrt{D})$ dependiendo sólo de $D$ .

Loo-Keng Hua demostró que $L(1,\chi)<1+\tfrac{1}{2} \log D$ por lo que utilizando la estimación trivial $h\geq 1$ y sustituyendo en la fórmula del número de clase de Dirichlet obtenemos

$$R<\sqrt{D}(\tfrac{1}{2}\log D+1)$$

La forma en que se presenta este límite (indirectamente) en esta encuesta sugiere que podría ser la mejor conocida actualmente para todos los campos cuadráticos reales (bueno, para $D>5$ ). Teniendo en cuenta lo antiguo que es el resultado de Hua (1942), esto parece poco probable, pero hasta ahora no he podido encontrar uno mejor.

Conozco estimaciones mucho mejores que funcionan para un tamaño suficientemente grande $D$ . Por ejemplo, del trabajo de Lavrik se deduce que

$$R<(0.263+\mathcal{o}(1))\sqrt{D}\log D$$

¿Cuál es el límite más conocido para $R$ que mantiene para todos los campos cuadráticos reales y sólo depende de $D$ ? (o para $D>k$ con el $k$ explícito y "pequeño")

También me interesa saber cuál es el verdadero límite que se espera.

Answer 1

Stéphane Louboutin tiene varios artículos sobre la obtención de límites explícitos para $L(1,\chi)$ , para $\chi$ un personaje $\pmod q$ . Son todos de la fuerza de $1/2 \log q + $ una constante explícita. Algunos de sus resultados incluyen información sobre $\chi(2)$ que a veces es útil.

El mejor límite superior teórico se debe a P.J. Stephens: da $$ L(1,\chi) \le \frac{1}{4} \Big( 2- \frac{2}{\sqrt{e}} + o(1)\Big) \log q = (0.1967\ldots +o(1)) \log q, $$ para un carácter cuadrático $\chi \pmod q$ (ver por ejemplo Límites superiores para $|L(1,\chi)|$ ). Aquí el $1/4$ es de Burgess y el $2-2/\sqrt{e}$ proviene del truco de Vinogradov para el menor no-residuo cuadrático. Para ir más allá $1/2$ en el límite de $L(1,\chi)$ explícitamente, habría que trabajar con límites explícitos de tipo Burgess o con versiones explícitas del truco de Vinogradov. No creo que nadie lo haya llevado a cabo -- nada nuevo aquí, pero sólo necesita codearse.

Sobre el teorema 1.5 de GRH de Lamzouri-Li-Soundarajan le dará límites explícitos para $L(1,\chi)$ . Estos muestran que el regulador está limitado por algo de tamaño $\sqrt{d} \log \log d$ que es probablemente el orden de magnitud correcto (pero se desconoce).