Este es un post largo con varias partes; agradecería cualquier ayuda ofrecida en cualquiera de las partes.
Dejemos que $X$ sea un conjunto dotado de cualquier topología $\tau_1$ , dejemos que $\tau_2$ sea la topología contable (es decir, un subconjunto $U$ de $X$ está abierto si $U=\emptyset$ o $X\setminus U$ es finito o contable), y que $\tau=\tau_1\lor \tau_2$ se definen como los subconjuntos $W\subseteq X$ tal que para cada $x \in W$ existen subconjuntos $U,V \subseteq X$ con $x \in U$ , $x \in V$ , $U \in \tau_1$ , $V \in \tau_2$ et $U \cap V \subseteq W$ .
1.) Si $X$ es finito o contable, demuestre que $\tau$ es la topología discreta.
Para demostrar que $\tau$ es discreto, necesito demostrar que cualquier subconjunto $W \subseteq X$ está abierto con respecto a $\tau$ . Basta con demostrar que todo conjunto monocorde en $X$ es abierto, ya que por la definición de una topología esto implica que cualquier unión de conjuntos de solteros, y por tanto cualquier subconjunto, será abierto. Consideremos $\{x\} \subseteq X$ . No estoy seguro de cómo configurar esto para empezar.
2.) Demostrar que un punto $p \in X$ es un punto límite de un conjunto $E \subseteq X$ con respecto a $\tau$ si y sólo si $p$ es un punto de condensación de $E$ con respecto a $\tau_1$ .
Para la dirección de avance, supongamos que $p$ es un punto límite de $E$ con respecto a $\tau$ . Entonces, por definición, para cada vecindad $N$ de $p$ existe alguna $n \in N$ tal que $n \neq p$ . No sé a dónde ir desde aquí.
Para la otra dirección, supongamos que $p$ es un punto de condensación de $E$ con respecto a $\tau_1$ . Entonces, por definición, para cada subconjunto $U \subseteq X$ con $U \in \tau_1$ y $p \in U$ , $E \cap U$ es incontable. De esta definición se desprende que $p$ es un punto límite de $E$ con respecto a $\tau_1$ . No estoy seguro de cómo llegar desde aquí al hecho de que $p$ es un punto límite de $E$ con respecto a $\tau$ .
3.) ¿Cuándo es un conjunto $E \subseteq X$ denso en $X$ con respecto a $\tau$ ?
No estoy seguro de cuál debería ser la afirmación apropiada para probar aquí. Sé que cuando un conjunto $E \subseteq X$ es denso con respecto a $\tau_2$ . En concreto, si $X$ es contable, entonces $X$ es el único conjunto denso con respecto a $\tau_2$ . Si $X$ es incontable, entonces $E \subseteq X$ es denso con respecto a $\tau_2$ si $E$ es incontable. ¿Cómo se relaciona esto con qué conjuntos son densos con respecto a $\tau$ ?
EDIT: Si $X$ es incontable, un conjunto $E \subseteq X$ es denso con respecto a $\tau$ si y sólo si cada punto $p' \in X \setminus E$ es un punto de condensación de $E$ con respecto a $\tau_1$ .
Mi intento de prueba: Para la dirección de avance, supongamos $E \subseteq X$ es denso en $X$ con respecto a $\tau$ . Entonces, por definición, para cada conjunto abierto no vacío $U \subseteq X$ , $E \cap U \neq \emptyset$ . Es decir, existe algún $x \in E \cap U$ para todo conjunto abierto $U \subseteq X$ . Queremos concluir que cada punto $p' \in X \setminus E$ es un punto límite de $E$ con respecto a $\tau$ pero no estoy seguro de cómo completar los detalles aquí.
Para el sentido inverso, dejemos que $p' \in X \setminus E$ . Supongamos que $p'$ es un punto de condensación de $E$ con respecto a $\tau_1$ . Entonces, por la parte 2, $p'$ es un punto límite de $E$ con respecto a $\tau$ . ¿Cómo nos lleva esto a la conclusión de que $E$ es denso?
4.) Supongamos que $(X,\tau_1)$ es Hausdorff. Es $(X, \tau)$ ¿Hausdorff? Demuestre o dé un contraejemplo.
Por definición, $(X,\tau_1)$ es Hausdorff implica que para cada $x,y \in X$ con $x \neq y$ existe $U,V \in \tau_1$ tal que $x \in U$ , $y \in V$ et $U \cap V = \emptyset$ . Mi instinto me dice que la respuesta es no, pero no se me ocurre ningún contraejemplo, así que no estoy seguro.
