cuando hace un functor mapa de los productos en los productos?

Question

Motivación: wikipedia reclamaciones, que en topología algebraica, se tiene: $\pi_1(X\times Y)\cong\pi_1(X)\times\pi_1(Y)$$\pi_1(X\vee Y)\cong\pi_1(X)\ast\pi_1(Y)$. Una declaración similar sostiene arbitrarias de los productos y en un punto de sindicatos, haciendo que el (covariante) grupo fundamental de la functor $\pi_1:\mathrm{TOP}^0 / h-\mathrm{TOP}^0\rightarrow GRPS$ conservar los productos y co-productos.

Supongo que la misma tiene para la functors $\pi_k$ (homotopy grupos), $H_k$ (homología de grupos)?

Definiciones:

Ejemplos: En la categoría de conjuntos, grupos, anillos, $R$-módulos, espacios vectoriales, espacios topológicos,etc, el producto es el producto cartesiano. En la categoría de conjuntos y espacios topológicos, el subproducto es distinto de la unión/topológica de la suma. En la categoría de grupos, el subproducto es el producto libre $\ast$. En el grupo abelian / $R$-módulos / espacios vectoriales categoría, es la suma directa de $\oplus$. En la topológico señaló espacios de categoría, es el punto de unión de $\vee$.

Pregunta: me gustaría mucho probar esto de una manera general, por lo que me gustaría saber lo siguiente: Teorema???: Supongamos $F:\underline{A}\rightarrow\underline{B}$ es un covariante / functor contravariante. ¿Cuáles son algunos (razonablemente general) condiciones suficientes en $F,\underline{A},\underline{B}$, que hacen de $F$ enviar (productos a los productos y co-productos de co-productos) / (productos para co-productos y co-productos a los productos ), es decir, $$F \text{ covariant }\Rightarrow F(\prod_{i\in I}A_i)=\prod_{i\in I}F(A_i)\text{ and }F(\coprod_{i\in I}A_i)=\coprod_{i\in I}F(A_i);$$ $$F \text{ contravariant }\Rightarrow F(\prod_{i\in I}A_i)=\coprod_{i\in I}F(A_i)\text{ and }F(\coprod_{i\in I}A_i)=\prod_{i\in I}F(A_i)?$$

Las condiciones suficientes de que estoy buscando son principalmente para importante estándar de functors, tales como $\pi_k$, $H_k$, $H^k$, la tangente y la cotangente paquete functor, ... por lo que puedo comprobar los resultados en una sola pasada.

Contraejemplo: En la categoría de división de los anillos / campos, tenemos $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2 = \mathbb{Z}_2$, con lo que el olvidadizo functor a la categoría de conjuntos no conservar los productos.

Answer 1

La preservación de la (co)productos está relacionado con la existencia de una izquierda (o derecha) adjunto; ver, por ejemplo, la wikipedia en el functor Adjunto teorema. Si usted conoce de la existencia de un adjoint (y algunos functors son esencialmente define como adjoints, como la libertad de los grupos, y el tensor de productos), esto proporciona una manera conveniente para deducir que el functor conserva los productos (o co-productos, como puede ser el caso).

Answer 2

Un útil condición suficiente es que un functor $F : C \to \text{Set}$ es representable; tales functors preservar los límites más o menos por definición. Por ejemplo:

• El olvidadizo functor $\text{Grp} \to \text{Set}$ preserva límites porque es $\text{Hom}(\mathbb{Z}, -)$.
• El olvidadizo functor $\text{Ring} \to \text{Set}$ preserva límites porque es $\text{Hom}(\mathbb{Z}[x], -)$.
• Para $R$ a un anillo conmutativo, el olvidadizo functor $R\text{-Mod} \to \text{Set}$ preserva límites porque es $\text{Hom}(R, -)$.
• El olvidadizo functor $\text{Top} \to \text{Set}$ preserva límites porque es $\text{Hom}(\bullet, -)$ donde $\bullet$ es el punto en el espacio.
• El homotopy grupo de functors $\pi_k : \text{hTop}_{\ast} \to \text{Set}$ donde $\text{hTop}_{\ast}$ es el homotopy categoría de punta espacios topológicos, preservar límites, porque son $\text{Hom}(S^k, -)$.

(Este argumento no se aplica directamente a los functors que toma valores en otras categorías de $\text{Set}$, pero hay una manera de extender lo que no estoy familiarizado con: consulte este MO pregunta. El extendido argumento debe manejar cohomology por Brown representabilidad.)

Otra utilidad de la condición suficiente es que un functor $F : C \to D$ es un derecho adjoint (equivalentemente, ha dejado adjunto). Esto es cierto de muchos olvidadizos functors (donde la izquierda adjunto es el correspondiente libre functor), incluyendo los de arriba. De hecho, el olvidadizo functor $\text{Top} \to \text{Set}$ tiene una izquierda y una derecha adjunto, por lo que se conserva de los límites y colimits. La izquierda adjunto envía un conjunto a la topología discreta en ese conjunto, y el derecho adjoint envía un conjunto a la topología indiscreta en ese conjunto.

Las dos condiciones que están relacionadas. Si $F : C \to \text{Set}$ ha dejado adjoint $G : \text{Set} \to C$, luego

$$\text{Hom}_C(G(X), Y) \cong \text{Hom}_{\text{Set}}(X, F(Y))$$

implica que

$$\text{Hom}_C(G(1), Y) \cong \text{Hom}_{\text{Set}}(1, F(Y)) \cong F(Y)$$

por lo tanto $F$ es representable por $G(1)$. Este patrón general se explica el olvido ejemplos anteriores.

Answer 3

Este es un comentario de verdad. Sólo quiero señalar que no es bastante natural functor que los intercambios de productos y co-productos, incluso a pesar de que no tiene a la izquierda o a la derecha adjunto y no es representable: el functor que asigna a cada finitely generado aumentada $k$-álgebra $\Lambda$ su cohomology anillo de $\operatorname{Ext}^* _\Lambda (k,k)$.