Probabilidad del movimiento browniano geométrico

Question

Quiero resolver la siguiente pregunta: Sea $X(t)$ sea el precio de las acciones de JetCo en el momento $t$ años desde el presente. Supongamos que $X(t)$ es un movimiento browniano geométrico con deriva cero y volatilidad $\sigma = 0.4/yr$ . Si el precio actual de las acciones de JetCo es de 8,00 USD, ¿cuál es la probabilidad de que el precio sea de al menos 8,40 USD dentro de seis meses?

Aquí está mi intento: Desde $X(t)$ es un movimiento browniano geométrico, $\log(X(t))$ es un movimiento browniano regular con deriva cero y $\sigma = 0.4 / yr$ . Queremos encontrar la probabilidad de que $\log(X(1/2)) \geq \log(8.40)$ dado que $\log(X(0))= \log(8.00)$ .

¿Qué puedo hacer desde aquí?

Answer 1

Hasta ahora vas por el buen camino, pero tienes la deriva equivocada. La deriva de $\log(X(t))$ es, a partir del lema de Ito, $-\frac{1}{2}\sigma^2.$

Después se utiliza el hecho de que como se trata de un movimiento browniano que parte de $\log(8.0)$ la distribución es $$\log(X(t)) \sim N\left(\log(8)-\frac{1}{2}\sigma^2t,\sigma^2t\right).$$ Así que dejemos $Z$ sea normal con media $\log(8)-\frac{1}{2}\sigma^2\left(\frac{1}{2}\right)$ y la varianza $\sigma^2\left(\frac{1}{2}\right).$ Para terminar el problema, hay que calcular $$ P(Z>\log(8.40)).$$