Curvatura de curvas en el plano hiperbólico

Question

En geometría euclidiana la curvatura de una línea o curva en el recíproco del radio de la circunferencia de beso

En la geometría hiperbólica no podemos utilizarla como medida de curvatura (¿qué es la curvatura de un hiperciclo?)

¿Qué medida podemos utilizar en su lugar como medida de la curvatura?

Answer 1

La noción natural a utilizar es Curvatura geodésica que tiene sentido para las curvas en cualquier variedad de Riemann. El nombre proviene del hecho de que las geodésicas tienen curvatura cero.

Por ejemplo, en el plano hiperbólico con curvatura gaussiana $-1$ Los horóculos tienen una curvatura geodésica $1$ . En efecto, consideremos el modelo de medio plano de Poincaré con la métrica $(dx^2+dy^2)/y^2$ . La línea $y=1$ es un heterociclo que está naturalmente parametrizado por la arclitud, $\alpha(t) = (t, 1)$ . El vector tangente es el vector unitario que apunta a la derecha. Esto hace que parezca que el horóscopo no se curva, pero deberíamos usar transporte paralelo para juzgar si dos vectores son paralelos.

Toma dos puntos $A=(t, 1)$ y $B=(t+h, 1)$ en el horóscopo y dibujar una geodésica entre ellos: es un arco de círculo de radio euclidiano $\sqrt{1+(h/2)^2}$ . El vector tangente a $\alpha$ hace que el ángulo $\sin^{-1}(h/2)$ con la geodésica en ambos $A$ y $B$ pero es en direcciones opuestas. Así que, transportando el vector $\alpha'(t)$ de $A$ a $B$ a lo largo de la geodésica, vemos que en el punto $B$ hace que el ángulo $2\sin^{-1}(h/2)$ con $\alpha'(t+h)$ . Como la tangente unitaria gira por $2\sin^{-1}(h/2)$ en la distancia $h$ la curvatura geodésica es $$ \lim_{h\to 0} \frac{2\sin^{-1}(h/2)}{h} = 1 $$

Modelo de disco

Pensándolo bien, es más fácil utilizar el modelo de disco la métrica será $4ds^2/(1-x^2-y^2)^2$ por lo que la curvatura sigue siendo $-1$ . El diámetro $(-1,1)\times \{0\}$ es una geodésica, y cerca del centro $(0,0)$ su parametrización arclength se mueve aproximadamente como $t\mapsto (t/2,0)$ cuando $t\approx 0$ . Así que el transporte paralelo a lo largo de esta geodésica para pequeñas distancias cerca del centro será euclidiano, lo que implica que la curvatura geodésica de cualquier curva tangente a esta geodésica en $(0,0)$ será sólo $1/2$ de su curvatura euclidiana en ese punto. (Aquí $1/2$ proviene de la mencionada velocidad de parametrización).

Resumen: para calcular la curvatura geodésica en el modelo de disco hiperbólico, mover el punto de interés al centro mediante una transformación de Möbius, y tomar $1/2$ de curvatura euclidiana allí. Ejemplos:

• Los horóculos tienen una curvatura geodésica $1$ como se muestra en el horociclo $x^2+(y-1/2)^2=1/4$ que pasa por $(0,0)$ y tiene una curvatura euclidiana $2$ .
• Un círculo hiperbólico de radio hiperbólico $R$ tiene una curvatura geodésica $1/\tanh R \in (1,\infty)$ . En efecto, cuando dicho círculo pasa por $(0,0)$ su punto más alejado de $(0,0)$ está a una distancia hiperbólica $2R$ de $(0,0)$ . Resolver $2\tanh^{-1} d = 2R$ rinde $d=\tanh R$ para el diámetro euclidiano de este círculo, por lo que su curvatura euclidiana es $2/\tanh R$ y la curvatura geodésica es $1/\tanh R$

Answer 2

Uso de la geometría hiperbólica para calcular la curvatura geodésica de un círculo

Si el círculo tiene centro M y radio $r$

Imagina 2 puntos en el círculo $A$ y $B$

dejar $C$ sea el punto medio del segmento (cuerda) $AB$

Entonces el triángulo $\triangle ACM$ es un triángulo rectángulo (el ángulo recto es $\angle ACM$ ) y $\angle M = \angle AMC = 1/2 \angle AMB $

Para este triángulo tenemos las siguientes fórmulas

• $ \tan(\angle CAM) = \cot(\angle M) / \cosh(r) $
• $ \sinh(AC) = \sin(\angle M) \sinh(r) $
• $ \tanh(MC) = \cos(\angle M) \tanh(r) $ (no es necesario)

El ángulo entre la tangente en A y $AB$ es $$ \frac{\pi}{2} -\angle CAM = \frac{\pi}{2} -\arctan \left( \frac{\cot(\angle M)}{\cosh(r)} \right) = \arctan \left( \tan ( \angle M)\cosh(r) \right) $$

Y la curvatura es $ \lim_{\angle M \to 0} \frac{\arctan \left( \tan(\angle M)\cosh(r)\right)} {\sin(\angle M) \sinh(r)} $

Porque $ \lim_{\angle M \to 0} \frac{ \arctan \left( (\tan(\angle M) C \right) }{\sin(\angle M)} = C $

El límite es $\frac{\cosh(r)}{\sinh(r)} =\frac{1}{\tanh(r)}$