Si $X$ y $Y$ no son independientes, a qué corresponde la medida del producto inducido por $X$ y $Y$ ?

Question

Dejemos que $(\Omega ,\mathcal F,\mathbb P)$ un espacio de probabilidad. Sé que si $X$ y $Y$ son independientes, entonces $(X,Y)$ inducen una medida sobre $\mathbb R^2$ si y sólo si son independientes. La medida viene dada por $$\nu(A\times B)=\mathbb P\{(X,Y)\in A\times B\}=\mathbb P\{X\in A\}\mathbb P\{Y\in B\}.$$

Ahora, si $X$ y $Y$ no son independientes, seguro $$\mu(A\times B)=\iint_{A\times B}f_{X,Y}(x,y)dydx$$ donde $f_{X,Y}$ es la densidad conjunta es una medida sobre $\mathbb R^2$ . Según esta definición, no es necesario que sean independientes. Entonces, por qué si no son independientes, no inducen una medida sobre $\mathbb R^2$ desde $\mu$ es una medida sobre $\mathbb R^2$ ?

Answer 1

En efecto, se trata de una medida sobre $\mathbb R^2$ pero no es una medida de producto ya que la medida de producto debe satisfacer $$(\mu\otimes\nu)(A\times B)=\mu(A)\nu(B).$$