Dejemos que $(X,d)$ sea un espacio métrico compacto y $K(X)$ la clase de sus subconjuntos compactos. Recordemos que la distancia de Hausdorf entre $A,B\in K(X)$ viene dada por
$$ d_{H}(A,B):=\max\big\{ \sup_{x\in A}\inf_{y\in B}d(x,y) , \sup_{y\in A}\inf_{x\in B}d(x,y) \big\} .$$
Parece bastante "intuitivo" (en vista de la continuidad de las distancias), que si $\max\{d_{H}(A,A'),d_{H}(B,B')\}\leq \varepsilon$ para ciertos $\varepsilon>0$ y $A,A',B,B'\in K(X)$ entonces $|d_{H}(A,B)-d_{H}(A',B')|$ tiene que ser "pequeño". Formalmente, la cuestión es la siguiente: Existe una función continua $\theta: [0,\infty)\longrightarrow [0,\infty)$ con $\theta(t)=0$ si $r=0$ tal que
$$|d_{H}(A,B)-d_{H}(A',B')|\leq \theta (\varepsilon),$$
siempre que $\max\{d_{H}(A,A'),d_{H}(B,B')\}\leq \varepsilon$ ? ¿Podemos mostrar una expresión (explícita) para tal functino $\theta$ ?
Muchas gracias de antemano por sus comentarios y sugerencias.
