Dejemos que $\mathbb{N}^{\mathbb{N}}=\{(x_n)_{n=1}^{\infty}: x_n \in \mathbb{N}\}$ con la métrica de Fréchet $d(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n}\dfrac{|x_n-y_n|}{1+|x_n-y_n|}$
a) ¿Es el espacio $\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ ¿completo? Si no es así, busca su finalización.
b) ¿Cuál es la categoría de $\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ en $\omega$ ? Aquí $\omega$ es el espacio de todas las secuencias reales dotadas de $d$ .
Aquí está mi intento:
El espacio $\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ con la métrica de Fréchet es completa. Es decir, para $\forall \varepsilon \enspace k \in \mathbb{N} \enspace \exists N :m,n\ge N$
\begin{align} d(x_{m},x_n)&<{\varepsilon\over2^k(\varepsilon+1)}\\ \sum_{j=1}^\infty{|x_{m,j}-x_{n,j}|\over2^{j}[1+|x_{m,j}-x_{n,j}|]}&<{\varepsilon\over2^k(\varepsilon+1)}\\ {|x_{m,k}-x_{n,k}|\over2^{k}[1+|x_{m,k}-x_{n,k}|]}&<{\varepsilon\over2^k(\varepsilon+1)}\\ |x_{m,k}-x_{n,k}|&<\varepsilon \end{align}
Por lo tanto, concluimos que $x_n$ es una secuencia de Cauchy en $\omega$ y $(\mathbb{N}^{\mathbb{N}},d)$ es un espacio métrico completo.
b) Por el teorema de Baire, si $(\mathbb{N}^{\mathbb{N}},d)$ es un espacio métrico completo, implica que si del $2^{\text{nd}}$ categoría en sí misma, por lo que también es de $2^{\text{nd}}$ categoría en $\omega$ .
¿Es correcto mi razonamiento? No estoy muy seguro de la parte de la categoría, especialmente. Gracias.
