Descargo de responsabilidad por duplicado: En la parte inferior
Esta pregunta se refiere principalmente a la heurística; me gustaría aprender cómo pensar al hacer estos problemas, y sólo estoy usando $\sqrt{a-\sqrt{a+x}}=x$ como estudio de caso.
Estoy muy interesado en ser mejor en la manupulación algebraica; pero muchas veces me bloqueo y no sé qué hacer. Hay muchos caminos para avanzar que me parecen todos igual de buenos, pero no sé cuál elegir y hasta dónde llegar en cada camino.
A modo de ilustración trataré de resolver $\sqrt{a-\sqrt{a+x}}=x$
Puedo transformar fácilmente esto en $(x^2-a)^2=x+a$ . En este punto pruebo diferentes cosas:
Expandir:
Esto da como resultado $x^4-2ax^2-x+(a^2-a)=0$ . Como los factores deben multiplicar al término constante, intento $a$ y $1-a$ pero no funcionan. En este punto recuerdo que es posible factorizar un cuártico sumando y restando un valor inteligente, y luego factorizar agrupando. Pero no sé qué términos agrupar y cuántos términos debe haber en cada grupo. En este punto empiezo a preguntarme si la expansión fue mala y no debería haber tirado la bonita forma factorizada.
Sustituciones:
De vuelta a $(x^2-a)^2=x+a$ . No hay nada obvio que hacer (salvo ampliar) así que pruebo con sustituciones:
$1)$ Elimine el $a$ a la izquierda por $x=y+\sqrt a$ o por $x^2=y^2+a$ . Esto da como resultado $(y^2+2 y\sqrt a)^2=y+a+\sqrt a$ o $y^4=\sqrt{y^2+a}+a$ respectivamente, que no parecen más agradables.
$2)$ Elevar el $a$ a la derecha por $x=y-a$ que no conduce a nada bueno.
$3)$ Escala: $x=ay$ o $x=\sqrt ay$ que de nuevo no ayuda.
$3)$ Traducir y escalar $x=ay - \sqrt a$ que tampoco lleva a nada más bonito.
Podría intentar ir más lejos en cada uno de estos caminos, pero nunca sé si debo parar porque es un callejón sin salida.
¿Cómo puedo mejorar mi capacidad para resolver problemas de manipulación algebraica?
Duplicado de la exención de responsabilidad: Esto no es un duplicado de este porque las respuestas que sólo indican la solución serían suficientes para esa pregunta. Tales respuestas no serían suficientes para mi pregunta, porque estoy interesado en una explicación de la heurística implicada en la resolución de tales preguntas en general.
