Prueba $|a+b-1| > |ab|$ donde $|a|>1$ , $a \in \mathbb{C}$ y $b \in (0,1)$ .

Question

Puede ser una estupidez, pero realmente no sé cómo probarlo.

Dejemos que $a \in \mathbb{C}$ y $|a| >1$ . Sea $b \in (0,1)$ . Prueba \begin{equation*} |a+b-1| > |ab|. \end{equation*}

Se agradecerá cualquier ayuda.

Answer 1

Por AM-GM $$|a|^2+1> 2|a|\geq 2\Re(a).$$ Por lo tanto, $$|a|^2-1> 2\big(\Re(a)-1\big).$$ Desde $|a|>1$ , $|a|^2-1>0$ . Así, $$(1+b)\big(|a|^2-1\big)>|a|^2-1>2\big(\Re(a)-1\big).$$ Así, $$(1-b^2)\big(|a|^2-1\big)=(1-b)\Big((1+b)\big(|a|^2-1\big)\Big)>2(1-b)\big(\Re(a)-1\big).$$ Por lo tanto, $$|a|^2+b^2-|a|^2b^2-1>2\Re(a)+2b-2-2\Re(a)b,$$ o $$|a|^2+b^2+1-2b-2\Re(a)-2\Re(a)b>|a|^2b^2.$$ Eso es, $$|a+b-1|^2>|a|^2b^2=|ab|^2.$$

Answer 2

Dejemos que $a=x+iy$ con $x,y$ real, $x^2+y^2-1>0$ y $0<b<1$ . Entonces $$|a+b-1|>|ab|$$ $$\Leftrightarrow (x+b-1)^2+y^2>b^2(x^2+y^2)~{\rm (by~raising~to~square)}$$ $$\Leftrightarrow (1-b)[(x-1)^2+b(x^2+y^2-1)+y^2]>0~({\rm by~rearranging}),$$ de ahí el resultado.