El cierre contable implica que no hay nuevos subconjuntos de $\omega$ se añaden.
La primera aplicación habitual de esto es demostrar la consistencia de la CH mediante el forzamiento (en contraposición a los modelos internos): el conjunto de inyecciones parciales contables $\omega_1\rightarrow\mathcal{P}(\omega)$ es contablemente cerrado bajo la extensión inversa, por lo que en la extensión forzada $V[G]$ obtenemos $\mathcal{P}(\omega)^{V[G]}=\mathcal{P}(\omega)^V$ pero también tenemos claramente en $V[G]$ una biyección entre $\mathcal{P}(\omega)^V$ y $\omega_1^V$ .
Informalmente : Supongamos que $\mathbb{P}$ es contablemente cerrado, y $\nu$ es un nombre para un conjunto de números naturales. Fijando una condición arbitraria $r$ podemos - en $V$ - encontrar una secuencia de condiciones $r\ge p_0\ge p_1\ge ...$ tal que $p_i$ decide $\nu(i)$ . Por cierre contable, obtenemos unos $q$ más fuerte que cada $p_i$ Entonces $q$ decide todo $\nu$ y por la definibilidad del forzamiento obtenemos $\nu[G]\in V$ para cualquier genérico $G\ni q$ . Ya que esto fue forzado por debajo de cualquier $r$ es válida para todos los genéricos.
Una pista para una prueba completa : Supongamos que $\mathbb{P}$ es contablemente cerrado, $G$ es $\mathbb{P}$ -generico sobre $V$ y $\nu\in V^\mathbb{P}$ con $\nu[G]\subseteq\omega$ . Algunos $c\in G$ fuerzas $\nu\subseteq\omega$ WLOG, toma $c=\mathbb{1}$ . Ahora bien, dado $d\le c$ , dejemos que $$Set(d)=\{i\in\omega: (d\Vdash\nu(i)=0)\vee (d\Vdash\nu(i)=1)\};$$ ¿puede demostrar que $$\{d\le c: Set(d)=\omega\}$$ es denso por debajo de $c$ ?
