Índices de Lorentz para etiquetar representaciones irreducibles de rotación

Question

Considere la $A_\mu\in\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ la representación vectorial del grupo de Lorentz restringido. Se puede descomponer este vector bajo rotaciones espaciales como $A_\mu\in 0\oplus 1$ donde $A_0$ se transforma en un escalar 3D y $A_i$ se transforma en un vector 3D. Si tuviéramos $\psi_a\in\left(\frac{1}{2},0\right)\oplus\left(0,\frac{1}{2}\right)$ un espinor de Dirac, bajo rotaciones se transforma como $\psi_a=\frac{1}{2}_L\oplus\frac{1}{2}_R$ donde $a=1,2$ será la parte izquierda y $a=3,4$ será la parte correcta.

La pregunta que tengo es cuando consideramos representaciones más altas, digamos un $\frac{3}{2}$ de partículas, $\psi_{\mu a}\in\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\otimes\left[\left(\frac{1}{2},0\right)\oplus\left(0,\frac{1}{2}\right)\right]$ . Está bastante claro que bajo rotaciones se transforma como $\psi_{\mu a}\in\left(\frac{1}{2}\oplus\frac{1}{2}\oplus\frac{3}{2}\right)_L\oplus\left(\frac{1}{2}\oplus\frac{1}{2}\oplus\frac{3}{2}\right)_R$ . Sin embargo, no veo cómo puedo distribuir los índices $\mu$ y $a$ en las rotaciones.

También me interesa el concepto general.

$\textbf{Edit: (to give more details for what my question is)}$

Si tomamos la parte escalar del $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)=0\oplus1$ y lo multiplicamos por el espinor de Dirac obtenemos $\frac{1}{2}_L\oplus\frac{1}{2}_R$ . Así que yo diría que la parte $\psi_{0a}$ se transforma en $\frac{1}{2}_L\oplus\frac{1}{2}_R$ .

Lo que queda es $\psi_{ia}$ que se transforma en $\left(\frac{1}{2}\oplus\frac{3}{2}\right)_L\oplus\left(\frac{1}{2}\oplus\frac{3}{2}\right)_R$ . Mi pregunta es: ¿Qué parte de los índices $i,a$ se transforma en $\left(\frac{3}{2}\right)_L\oplus\left(\frac{3}{2}\right)_R$ ?

Answer 1

Este es un duplicado cercano.

$\psi_{\mu~\alpha}$ , en $$\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\otimes\left[\left(\frac{1}{2},0\right)\oplus\left(0,\frac{1}{2}\right)\right],$$ tiene 16 componentes; así que proyectas la pieza del espinor, $\gamma\cdot \psi_\alpha =0$ , $\left[\left(\frac{1}{2},0\right)\oplus\left(0,\frac{1}{2}\right)\right]$ que elimina 4 componentes, dejándote con 12: $$\left[\left({1},\frac{1}{2}\right)\oplus\left(\frac{1}{2},{1} \right)\right].$$

Sin embargo, 4 de estos componentes restantes son grados de libertad gauge (susy local), $\partial_\mu \epsilon_\alpha$ que no entran en la acción R-S, por lo que se proyectan hacia fuera como en las teorías vectoriales gauge, dejándote con sólo 8, $$\left[\left(\frac{3}{2},0\right)\oplus\left(0,\frac{3}{2}\right)\right],$$ un cuarteto de izquierdas y otro de derechas.

NB En la cáscara, se puede seguir: la ausencia de $\partial_0 \psi_{0~\alpha}$ de la acción permite fijar $\psi_0=0$ reduciendo las 8 componentes a 4, y la condición de Majorana las reduce a sólo 2 d.o.f., los estados de polarización extrema, análogos a los fotones, explicados en Freedman & van Proeyen .