Líneas paralelas de una mediana y bisectriz de un ángulo en un triángulo

Question

Supongamos que tenemos $\triangle DEF$ con $|\overline{DE}| < |\overline{DF}|$ . Sea el punto medio de $\overline{EF}$ sea $G$ y que la bisectriz de $\angle D$ conocer el lado $\overline{EF}$ en $H$ . Que el pie de la perpendicular de $E$ a $\overline{DH}$ sea $I$ y ampliar $\overline{EI}$ para cumplir con la mediana $\overline{DG}$ en $J$ . Demostrar que $\overleftrightarrow{HJ}$ y $\overleftrightarrow{DE}$ son paralelos.

Este problema me lo ha planteado un profesor y no estoy seguro de cómo hacerlo. Parece que es paralelo, pero no puedo probarlo. Estoy probando con coordenadas pero no me sale bien.

Answer 1

tomar el punto medio $M$ de $DE$ Conéctate. $IM$ ,cruz $EF$ en $G_1$ , sinusoidal $\triangle DIE$ es un triángulo rectángulo, $\implies \angle IME= 2\angle IDE=\angle FDE \implies IM // DF \implies G_1=G$

hacer $HJ' //DE$ , cruz $IM$ en $K \implies \dfrac{HG}{GE}=\dfrac{HK}{ME}=\dfrac{HJ}{DE}$ (es trivial que $K$ es el punto medio de $HJ'$ )

conectar $DJ'$ , cruz $EF$ en $G_2 \implies \dfrac{HG_2}{G_2E}=\dfrac{HJ}{DE}=\dfrac{HG}{GE} \\ \implies G_2=G \implies DG_2=DG \\ \implies J'=J \implies HJ //DE $

no importa $EF < DE$ .

QED.

Answer 2

He aquí una prueba de coordenadas. Sean las longitudes de las aristas del trangle $d$ , $e$ , $f$ en la disposición habitual, y asignar estas coordenadas a los vértices: $$D = (0,0) \qquad E = (f,0) \qquad F = e\,(\cos D, \sin D)$$ Punto medio $G$ son fáciles: $$G = \frac{1}{2}(E+F) = \left( \frac{f + e \cos D}{2}, \frac{e \sin D}{2} \right)$$ Por el Teorema de la bisectriz del ángulo sabemos que $H$ es un punto tal que $e\,|\overline{HE}| = f\,|\overline{HF}|$ lo que nos permite escribir $$H = \frac{1}{f+e}\left(\;e E + f F\;\right) = \frac{ef}{e+f}\left(\;1 + \cos D, \sin D \;\right)$$

Entonces tenemos $$\begin{align} \overleftrightarrow{EI}&:\quad x ( 1+ \cos D) + \sin D y = f ( 1 + \cos D) \\ \overleftrightarrow{DG}&:\quad e \sin D x = y ( f + e \cos D ) \end{align}$$ para que $$J = \left(\frac{f (f + e \cos D)}{e + f}, \frac{e f \sin D}{e + f} \right)$$ que tiene el mismo $y$ -coordinar como $H$ (pero un distinto $x$ -), de modo que $\overleftrightarrow{HJ}$ es paralelo a la $x$ -eje, y por lo tanto $\overleftrightarrow{DE}$ . $\square$

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Notas

• En ningún momento este argumento supone $f > e$ . Sólo exigimos que $f \neq e$ para que $H$ y $J$ son puntos distintos (en caso contrario $\overleftrightarrow{HJ}$ es indefinido).

• Si construimos $H^\prime$ como el punto donde el externo bisectriz en $D$ se encuentra con $\overleftrightarrow{EF}$ entonces podemos construir puntos de acompañamiento $I^\prime$ y $J^\prime$ como antes, para obtener $\overleftrightarrow{H^\prime J^\prime}\parallel\overleftrightarrow{DE}$ . El argumento es igual que el anterior, salvo que sustituimos $e$ con $-e$ en la definición de $H^\prime$ (y el cálculo de $J^\prime$ ). En este caso, el requisito $f \neq e$ garantiza que $H^\prime$ no es un punto en el infinito.

Answer 3

Nota. Esta solución ha sido revisada para simplificar parte del argumento .

Esta solución utiliza el hecho de que la relación cruzada de cuatro puntos es invariante bajo la proyección central de una línea a otra.

Dejemos que $K$ sea el reflejo de $E$ con respecto a la línea $DI$ . Entonces, el triángulo $DEK$ es isósceles, $I$ es el punto medio de $EK$ y $K$ está en $DF$ (ya que el ángulo en $D$ está dividido por $DI$ ). Tenemos $K \ne F$ desde $DK = DE \ne DF$ Por lo tanto $H \ne J$ .

En adelante, todos los cocientes de longitudes deben considerarse con signo.

Mi primera afirmación es que $\frac{IH}{ID} = \frac{GH}{GF}$ . Para ver esto, observe que $G$ y $I$ son los puntos medios de los lados $EF$ y $EK$ del triángulo $EFK$ . De ello se desprende que $GI$ es paralela a la línea $KF$ que también es $FD$ . Esto demuestra la primera afirmación.

Mi siguiente afirmación es que $\frac{IJ}{IE} = \frac{GH}{GF}$ . Esto será suficiente ya que $\frac{IJ}{IE} = \frac{IH}{ID}$ implica que $HJ$ y $DE$ son paralelos. Para demostrar la afirmación, proyectamos la línea $EF$ en $EK$ centralmente desde $D$ . Las imágenes de $E, G, H, F$ bajo la proyección son $E, J, I, K$ respectivamente. Como se conservan las relaciones cruzadas, tenemos (teniendo en cuenta que $G$ es el punto medio de $EF$ y $I$ el punto medio de $EK$ ):

$$\begin{align*} \frac{KI}{KE} \div \frac{JI}{JE} &= \frac{FH}{FE} \div \frac{GH}{GE}, \\ \frac{1}{2}\frac{JE}{JI} &= \frac{1}{2} \frac{FH}{GH}. \end{align*} $$ La última afirmación se deduce fácilmente de esto y completa la prueba.