Dejemos que $n\in \mathbb N$ y: $$ x_n = \left(1 + {1\over 2n}\right)^n $$ Demuestra que $\{x_n\}$ es una secuencia creciente.
$\Box$ Considere la prueba de relación de dos términos consecuentes $x_n$ y $x_{n+1}$ : $$ \frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{\left(1 + {1\over 2n + 2}\right)^{n+1}}{\left(1 + {1\over 2n}\right)^n} = \frac{\left(1 + {1\over 2n + 2}\right)^{n}}{\left(1 + {1\over 2n}\right)^n} \cdot\left(1 + {1\over 2n + 2}\right) = \\ = \left(\frac{2n(2n+3)}{(2n+1)(2n+2)}\right)^n \cdot\left(1 + {1\over 2n + 2}\right) $$
Hemos terminado en caso de que este producto sea mayor que $1$ .
Denota: $$ P^n = \left(\frac{2n(2n+3)}{(2n+1)(2n+2)}\right)^n = \left(\frac{4n^2 + 6n}{4n^2 + 6n+2}\right)^n $$
Dividir $P$ en fracciones parciales: $$ P^n = \left(1 + \frac{1}{n+1} - \frac{2}{2n+1}\right)^n = \left(1 - \frac{1}{(n+1)(2n+1)}\right)^n $$
Desde $\frac{-1}{(n+1)(2n+1)} > -1$ podemos aplicar la de Bernoulli: $$ P^n \ge 1 - \frac{n}{(n+1)(2n+1)} $$
Así:
$$ \frac{x_{n+1}}{x_n} \ge \left(1 - \frac{n}{(n+1)(2n+1)}\right)\cdot\left(1+ \frac{1}{2n+2}\right) = \frac{2n^2 + 2n +1}{2n^2+3n+1} \cdot \frac{2n+3}{2n+2} = \\ = \frac{4 n^3 + 10 n^2 + 8 n + 3}{4 n^3 + 10 n^2 + 8 n + 2} $$
De aquí se desprende que:
$$ {x_{n+1}\over x_n} > 1 $$
Esto completa la prueba de que $x_n$ es monótonamente creciente. ${\blacksquare}$
¿Es una prueba válida? También agradecería cualquier método más sencillo para demostrarlo.
