Cuando $a^2x^2+2bx+c$ ¿es un cuadrado perfecto?

Question

¿Existe algún método rápido y sencillo para averiguar $a^2x^2+2bx+c$ es un cuadrado perfecto para algunos $x\in\mathbb{Z}$ es decir, cuando hay un $x,y\in\mathbb{Z}$ tal que $$ a^2x^2+2bx+c=y^2 $$ donde $a,b,c$ son números enteros dados?

P.D: Mi pregunta tiene dos partes:

Primero decida si es un cuadrado perfecto o no

Segundo método rápido y fácil de encontrar $x,y$ .

Gracias.

Answer 1

No puedo responder a toda tu pregunta pero puedo darte una forma. Podemos escribir $a^2x^2+2bx+c$ = $$(ax)^2+2ax(\frac {b}{a})+(\frac {b}{a})^2+[c-(\frac {b}{a})^2]$$ = $$(ax+\frac {b}{a})^2+[c-(\frac {b}{a})^2]$$ Así, si la segunda parte, es decir $[c-(\frac {b}{a})^2]$ es igual a 0 entonces es un cuadrado perfecto. Entonces $ax+(\frac ba)^2$ = $y$ . Así que puedes encontrar el valor de $x,y$ . Ahora sigo encontrando un buen camino. Gracias.

Answer 2

Dado $a,b,c$ con $a\neq 0$ , reescribir la ecuación en forma factorizada

$$\left(a y-a^2x-b\right)\left(a y+a^2x+b\right)=a^2c-b^2$$

Esto conduce a dos ecuaciones lineales

$$a y-a^2x-b=d_1$$

y

$$a y+a^2x+b=d_2$$

donde $d_1, d_2$ son divisores de $a^2c-b^2$ tal que $d_1 d_2=a^2c-b^2$