Cómo interpretar un gráfico 3D

Question

Estoy intentando interpretar los gráficos en 3D pero me está volviendo loco.

Digamos que quiero ver la relación entre 3 variables y tengo datos como los siguientes:

x = 1:1:10 #values between 1 and 10 inclusive
y = 101:1:110 #values between 101 and 110 inclusive

[X,Y] = meshgrid(x,y) # I don't know this part - why it makes a matrix with same values in different rows

Z = X.+Y #I want to make it as simple as the sum of x and y

surf(X,Y,Z)

Cuando ejecuto esto en matlab, obtengo un gráfico como el de esta imagen:

En un gráfico 2D, si conocemos el valor de x, podemos encontrar fácilmente el valor de y y viceversa. Cómo puedo hacer lo mismo con esta imagen.

Gracias

Answer 1

Si sólo conoce el $x$ valor esto no es suficiente para encontrar el $y$ valor o $z$ valor.
Si conoce el $x$ valor Y el $y$ se puede encontrar el valor $z$ valor.
Por ejemplo $x=2$ , $y=1$ puede considerar $x=2$ para ser un avión $p$ en paralelo a el $yz$ -plano de coordenadas, y considerar $y=1$ para ser un avión $q$ paralela a la $xz$ -plano de coordenadas, la intersección de los planos $p$ y $q$ es una línea vertical $v$ que interseca el gráfico en un punto determinado, a saber $(2,1,3)$ que se podría interpretar como "encontrar el $z$ valor", $z=3$ , de $x=2$ y $y=1$ . Otra alternativa, y más fácil, $x=2$ es una línea paralela a la $y$ eje en el $xy$ -plano de coordenadas, $y=1$ es una línea perpendicular a $x=2$ y paralela a la $x$ eje en el $xy$ -plano de coordenadas, se cruzan en un punto $P=(2,1,0)$ en el $xy$ -y la línea vertical $v$ a través de $P$ interseca el gráfico en $(2,1,3)$ .

Dado $z$ no se puede encontrar fácilmente $x$ , a menos que sepas $y$ Al menos para el ejemplo que usted considera. En general, no es necesario que pueda encontrar $x$ incluso si se conocen ambos $y$ y $z$ Y no hace falta el 3D para ilustrar esta dificultad. Tu afirmación:
"En una gráfica 2D, si conocemos el valor de x, podemos encontrar fácilmente el valor de y y viceversa" no es del todo correcto (en la parte de "viceversa"), por ejemplo si $y=x^2$ y $y=4$ entonces hay dos valores posibles para $x$ , $2$ y $-2$ .
Si $y=\sin(x)$ y $y=\dfrac12$ entonces hay un número contablemente infinito de valores para $x$ , $\dfrac\pi6$ , $\dfrac{5\pi}6$ , $\dfrac{13\pi}6$ , $\dfrac{-7\pi}6$ Por mencionar algunos. Si $y=\dfrac{x^2}{x^2}$ y $y=1$ entonces hay un continuo (infinito, con la cardinalidad de la recta real) de valores para $x$ , es decir, todos $x$ en $(-\infty,0)\cup(0,\infty)$ por lo que en general no es cierto, ni siquiera en un gráfico 2D, que si se conoce el $y$ entonces podría encontrar fácilmente el $x$ valor.

Es difícil decir cuál es exactamente tu dificultad, tal vez estás mimado por matlab. ¿Has intentado alguna vez trazar al menos un gráfico 3D a mano? Si la respuesta es no, entonces no es de extrañar que no puedas entender lo que te muestra matlab. (Si la respuesta es sí, entonces estoy desconcertado, no deberías haber tenido ninguna dificultad con la pregunta anterior).

Editar. He leído tu comentario. Tal vez no sea el matlab el culpable: Cuando dibujas en un plano 2D (por ejemplo, una pantalla de ordenador o un papel) un objeto que naturalmente vive en 3D, pierdes información, el resultado es que hay una dificultad inherente para figurar $z$ si sabes $x,y$ . (Puedes hacer que matlab lo haga, si matlab conoce la función que definió $z$ en términos de $x,y$ pero si sólo se le da el gráfico, entonces hay ambigüedad).

Voy a ilustrar la dificultad con un ejemplo determinado (aunque puede que no se relacione exactamente con tu pregunta, pero ya hice las fotos de esta manera), y luego indicaré (dejando los detalles para ti) otro ejemplo que podría estar más relacionado con lo que preguntas.

Digamos que te dan un sistema de coordenadas 3D, y más precisamente lo que ves es una proyección 2D en la pantalla. Sólo ves los tres ejes de coordenadas (y matlab te da algo que parece un cubo, pero esto en esencia son los ejes de coordenadas junto con algunas líneas paralelas que son redundantes y que tienen la intención de quizás facilitar la navegación por la imagen). Digamos que también se le da un punto $P$ como se muestra en esta imagen:

Puede tratar de averiguar el $x,y,z$ coordenadas de $P$ pero esto puede hacerse sistemáticamente de más de una manera, por lo que si se quiere hacer esta tarea sin ambigüedades, se necesita más información. Digamos que ahora se le da $z$ . Entonces podría conectar el punto $z$ (más precisamente $(0,0,z)$ ) con $P$ Añade un par de líneas, una paralela a la línea $zP$ y la otra paralela a la $z$ -y luego su intersección $Q$ es la proyección de $P$ en el $xy$ -plano de coordenadas, como se muestra en la siguiente imagen:

Ahora podrías añadir un par de líneas a través de $Q$ , paralela a la $x$ -eje y el $y$ -respectivamente, para obtener el $x$ y el $y$ coordenadas de $P$ en la imagen, de la siguiente manera:

Pero, empezando por lo que parece "lo mismo" $P$ (en la primera foto), y otro $z$ y siguiendo el mismo procedimiento, obtenemos diferentes $x,y$ como se muestra a continuación:

Ahora (para darle la vuelta a las cosas y hacer que esta ilustración coincida más con tu comentario de abajo) dado $x,y$ se puede construir fácilmente $Q=(x,y,0)$ y dibujar una línea vertical desde $Q$ (así como una línea a través de $Q$ y el origen). Dada también la gráfica de una superficie, entonces se podría encontrar la intersección $P$ de esa línea vertical con la superficie, y a partir de ahí determinar $z$ (dibujando ciertas líneas paralelas, y tomando ciertas intersecciones como se ilustra en la imagen de abajo), pero no se puede determinar $P$ inequívocamente sólo a partir de la imagen 2D, y una $P$ te dará una diferente $z$ .

La explicación anterior sólo demuestra que no se puede determinar $z$ , dado $x,y$ de las 2D gráfico de la superficie solo. O, por supuesto, si se le da explícitamente $z=f(x,y)$ será fácil hacer que matlab trace el punto exacto $(x,y,z)$ y para determinar el valor de $z$ , por lo que también para trazar el punto $(0,0,z)$ en el $z$ -eje.