Yo estoy haciendo uno de los ejercicios de Stewart y la Altura del libro en la Teoría Algebraica de números. El problema se refiere a encontrar una expresión para la norma en el cyclotomic campo $K = \mathbb{Q}(e^{2\pi i / 5})$. El problema exacto es el siguiente:
Si $\zeta = e^{2 \pi i / 5}$, $K = \mathbb{Q}(e^{2\pi i / 5})$, demostrar que la norma de $\alpha \in \mathbb{Z}[\zeta]$ es de la forma $\frac{1}{4}(A^2 -5B^2)$ donde $A, B \in \mathbb{Z}$.
(Sugerencia: En el cálculo de $\textbf{N}(\alpha)$, calcular primero $\sigma_1 (\alpha) \sigma_4 (\alpha)$ donde $\sigma_i (\zeta) := \zeta^{i}$. Demuestra que este es de la forma $q + r\theta + s\phi$ donde $q, r, s \in \mathbb{Z}$, $\theta = \zeta + \zeta^{4}$ y $\phi = \zeta^{2} + \zeta^{3}$. De la misma manera establecer $\sigma_2 (\alpha) \sigma_3 (\alpha) = q + s\theta + r\phi$ )
Mediante el Ejercicio $3$ demostrar que $\mathbb{Z}[\zeta]$ tiene un número infinito de unidades.
Ahora, ya he hecho lo que la sugerencia se dice y llegó a la siguiente. Si dejamos $\alpha = a +b\zeta^{} + c\zeta^{2} + d\zeta^{3} \in \mathbb{Z}[\zeta]$, a continuación, después de la simplificación puedo conseguir
$$\textbf{N}(\alpha) = \sigma_1 (\alpha) \sigma_4 (\alpha) \sigma_2(\alpha) \sigma_3(\alpha) = ( q + r\theta + s\phi ) ( q + s\theta + r\phi )$$
$$ = q^2 + (qr + qs)(\theta + \phi) + rs(\theta^2 + \phi^2) + (r^2 + s^2)\theta \phi$$
y, a continuación, no es difícil ver que $\theta + \phi = -1$, $\theta^2 + \phi^2 = 3$ y $\theta \phi = -1$, de modo que al final
$$\textbf{N}(\alpha) = q^2 - (qr + qs) + 3rs - (r^2 + s^2)$$
donde $q = a^2 + b^2 + c^2 + d^2$, $r = ab + bc + cd$ y $s = ac + ad + bd$.
Ahora, aquí me tiene atascado porque yo simplemente no puede tomar la última expresión de la norma en la forma que el ejercicio quiere.
El propósito es conseguir que bonita forma de la norma para encontrar las unidades mediante la resolución de la ecuación de diophantine $\textbf{N}(\alpha) = \pm 1$, que es lo que el Ejercicio $3$ mencionado en el statatement del problema.
Ya sé cómo demostrar la existencia de un número infinito de unidades en $\mathbb{Z}[\zeta]$ (sin el uso de Dirichlet de la Unidad Teorema de curso), pero el ejercicio también exige una prueba de que la norma es igual a $\frac{1}{4}(A^2 -5B^2)$.
Incluso me pregunté a mi profesor acerca de esto y no fuimos capaces de obtener la forma deseada de la norma.
Así que mi pregunta es si alguien sabe cómo probar que la norma tiene esa forma, y si es así, ¿cómo puedo demostrar que? O si podría ser que tal vez la sugerencia dada en el ejercicio no es de gran ayuda?
Muchas gracias de antemano por cualquier ayuda con esto.
EDITAR
Después de mirar a Derek Jennings respuesta a continuación, para obtener a partir de la expresión que yo tenía para la norma a la que en Derek, la respuesta es sólo una cuestión de sacar un factor común de $1/4$ en la expresión y, a continuación, completar el cuadrado.
$$\textbf{N}(\alpha) = q^2 - (qr + qs) + 3rs - (r^2 + s^2) = q^2 - q(r+s) + rs - (r-s)^2$$
$$ = \frac{1}{4}( 4q^2 - 4q(r+s) + 4rs - 4(r-s)^2 ) $$ $$= \frac{1}{4} ( 4q^2 - 4q(r+s) +\overbrace{(r+s)^2} - \overbrace{(r+s)^2} + 4rs - 4(r-s)^2 )$$
$$ = \frac{1}{4} ( (2q -(r+s))^2 -(r-s)^2 - 4(r-s)^2 )$$
$$ = \frac{1}{4}( (2q - r - s)^2 - 5(r-s)^2 ) = \frac{1}{4}(A^2 - B^2)$$
como se desee. Por supuesto, es más fácil si usted ya sabe lo que se obtiene a =)
