Demuestre que existe una matriz con traza en el conjunto $\{1,2,...,n\}.$

Question

Dejemos que $n$ sea un número entero positivo y que $U$ sea un subconjunto finito de $M_{n\times n}(\mathbb{C})$ que es cerrado bajo la multiplicación de matrices. Demuestre que existe una matriz $A$ en $U$ satisfaciendo $\text{trace}(A) \in \{1,...,n\}.$

Estaba pensando que si miramos este problema por contradicción. Entonces tenemos que para todas las matrices $A$ $\text{trace}(A)>n$ o $\text{trace}(A)=0.$ En el primer caso, obtenemos que $\det(A)<1$ y en el segundo caso obtenemos que $\det{A}=0.$ No estoy seguro de cómo seguir adelante, así que cualquier sugerencia sería muy apreciada.

Answer 1

Dejemos que $A\in U$ . Desde $U$ es finito, existe $a,b\in\mathbb N$ tal que $A^a=A^b$ y $a < b$ . Por tanto, el polinomio mínimo de $A$ divide $x^a-x^b$ . Esto demuestra que cualquier valor propio de $A$ es $0$ o una raíz de unidad.

Consideremos las matrices $A^k$ para $k\in\mathbb N$ .

Por este los valores propios de $A^k$ son los $k$ -potencias de valores propios de $A$ , por lo que podemos encontrar $k$ tal que los valores propios de $A^k$ son $0$ o $1$ . Entonces el rastro de $A^k$ es una suma de $n$ números en $\{0,1\}$ por lo que es un número entero entre $0$ y $n$ .

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Espero que esto ayude.

Answer 2

Una pista: considere un elemento $A$ . Desde $U$ es cerrado bajo la multiplicación, para cada número natural $m$ , $A^m \in U$ . Sin embargo, $U$ es finito, lo que significa que $A^m$ toma un número finito de valores. ¿Qué implica esto sobre $A$ ¿los valores propios? La traza es la suma de sus valores propios--debe haber un $m$ tal que $\mathrm{Tr}(A^m)\in \mathbb N$ ?

Answer 3

Escoge cualquier $A \in U$ y considerar la secuencia $A,A^2,A^3,...$ . Desde $U$ es finito, debe existir $s<t$ tal que $A^s = A^t$ .

En particular, si $\lambda$ es un valor propio de $A$ vemos que $\lambda^s = \lambda^t$ y por lo tanto $\lambda=0$ o $\lambda^{t-s} = 1$ . En otras palabras, todos los valores propios de $A^{t-s}$ (que debe ser miembro de $U$ ) satisfacen $\lambda^{t-s} \in \{0,1\}$ .

En consecuencia, $\operatorname{tr} A^{t-s} \in \{0,...,n\}$ .