Una casualidad o una razón profunda para este bonito resultado: identificar rigurosamente la derivada de la perturbación algebraica

Question

Me encontré con un resultado genial y me preguntaba si lo que vi es una casualidad o tiene una razón más profunda. Resumiendo: ¿podemos encontrar derivadas con perturbaciones algebraicas?

Considere la ecuación algebraica $12 (x + \epsilon) - y^2 = 0$ que define una función implícita $y=f(x)$ . Ahora, el objetivo es encontrar derivados. Centrándonos en la rama positiva. Podemos hacerlo de forma analítica y encontrar $\frac{dy}{dx} = \sqrt{3} x^{-\frac{1}{2}}$ así como $\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{2} \sqrt{3} x^{-\frac{3}{2}}$ .

Hasta aquí todo bien. Ahora, si intentamos resolver esto para $y$ utilizando una expansión de perturbación, dejando que $y^{\ast} = y^{(0)} + \epsilon y^{(1)} + \epsilon^2 y^{(2)} + \epsilon^3 y^{(3)} + \dots$ obtenemos

$y\to 2 \sqrt{3} \sqrt{x}+\frac{\sqrt{3} \epsilon }{\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{3} \epsilon ^2}{4 x^{3/2}}+\frac{\sqrt{3} \epsilon ^3}{8 x^{5/2}}$

A partir del término de primer orden, podemos ver la primera derivada inmediatamente. Para el término de segundo orden, difieren en un factor de dos, concretamente, me parece que el término de segundo orden es $\frac{1}{2} \frac{d^2y}{dx^2}$ . Que obviamente se desvanecerá al aplicar $\frac{d}{d\epsilon}$ al término de segundo orden.

Sin embargo, creo que es un error. ¿Podría ser que es un factor de $2!$ ¿en su lugar? Así, para obtener la tercera derivada, multiplicaría el término asociado a $\epsilon^3$ por $3!$ y así sucesivamente. Parece que también funciona con el cuarto orden.

Ahora bien, ¿se mantiene esta relación de forma más general o acabo de reinventar un caso especial del teorema de Taylor que se rompe al trabajar con funciones menos amigables?

Estaría muy agradecido si alguien pudiera ayudarme a hacer esto más riguroso incluyendo una definición de la derivada en términos de una perturbación a la variable independiente. Supongo que un enunciado formal sería $\begin{equation} y \to y^{(0)} + \sum_{k=1}^n \frac{1}{k!} \frac{d^k y}{dx^k} \epsilon^{k} \end{equation}$ .

Para que quede claro, sé cómo se expande Taylor. Tengo curiosidad por saber si podemos para una función implícita $F(x,y)=0$ emplean una expansión de perturbación $F(x + \epsilon,y)=0$ con la conjetura de $y$ arriba para encontrar $\frac{d^k y}{dx^k}$ .

¡Muchas gracias!

PD: El código de Mathematica para generar la salida es $\begin{equation} \pmb{\text{AsymptoticSolve}[12(x+\epsilon )-y{}^{\wedge}2\text{==}0,\{y\},\{\epsilon ,0,3\}]} \end{equation}$

Answer 1

Y si desea utilizar las perturbaciones en una ecuación implícita

$$F(x,y(x))=0,$$ tendrías que utilizar la regla de la cadena $n$ tiempos. Para la primera orden

$$\frac{\partial F}{\partial x}(x,y(x)) +\frac{dy}{dx}\frac{\partial F}{\partial y}(x,y(x))=0$$ le da la relación clásica

$$\frac{dy}{dx}=- \frac{\frac{\partial F}{\partial x}(x,y(x))}{\frac{\partial F}{\partial y}(x,y(x))}.$$

Y puedes seguir el paso a paso para conseguir las siguientes órdenes. Pero de nuevo en su caso particular, la conocida serie de Taylor le permite obtener cada orden fácilmente.

Answer 2

Usted tiene

$$y=2 \sqrt{3} \sqrt{x}\left(1+ \frac{\epsilon}{\sqrt{x}}\right)^{\frac{1}{2}}.$$

Entonces sólo hay que utilizar la expansión de Taylor

$$(1+a)^{\beta}=\sum_{n=0}^\infty \binom{\beta}{n}a^n$$ que es válido para $0 \le \epsilon \lt \sqrt{x}$ , donde $$\binom{\beta}{n}= \frac{\beta(\beta-1)\dots(\beta-n+1)}{n!}$$

$\beta=\frac{1}{2}$ y $a=\frac{\epsilon}{\sqrt{x}}$ .