Aproximaciones cuadráticas/ cúbicas/ etc. sin la serie de Taylor

Question

Es fácil convencer a alguien de que la aproximación lineal es la mejor línea que se aproxima a una función en un punto porque todo el mundo aprende pronto que la derivada de una función es sólo la pendiente de esa función en el punto.

Sin embargo...

Suponiendo que nunca haya oído hablar de la serie Taylor, ¿hay alguna forma de convencerme de que $f(a)-f'(a)(x-a) - \frac 12f''(a)(x-a)^2$ es el mejor función cuadrática que describe la función $f$ en el punto $x=a$ ?

Puntos extra: ¿Qué tal la mejor aproximación cúbica o cuártica o quíntica o ....?

Answer 1

Escriba $f(x)\approx a_0+a_1(x-a)+a_1(x-a)^2$ . A continuación, determine los coeficientes tomando las derivadas sucesivas y dejando que $x=a$ .

Así que, $f(a)=a_0$ . $f'(a)=a_1$ . $f''(a)=2a_2$ .

El mismo procedimiento puede utilizarse para cualquier orden de "aproximación". Sin embargo, esto no establece la validez del proceso. Tampoco proporciona ninguna estimación de la magnitud del error. Sólo da una forma heurística de ver el elegante desarrollo que es la expansión de Taylor.

Answer 2

Bueno, para ser incómodo y molesto, se puede definir la derivada como el número $f'(a)$ para que $$ \frac{f(a+h)-f(a)-h f'(a)}{h} \to 0 $$ como $h \to 0$ , es decir, para que $$ f(a+h) = f(a) + h f'(a) + o(h). $$ De forma similar, se puede definir la segunda derivada como el número $f''(a)$ tal que $$ \frac{f(a+h)-f(a)-h f'(a)-h^2 f''(a)/2 }{h^2} \to 0, $$ y así sucesivamente. Que sólo hay un número de este tipo $f^{(k)}(a)$ para cada $k$ hasta $n$ es exactamente lo que significa que una función sea $n$ -veces diferenciable.