¿Cómo definir el grupo multiplicativo generado por un conjunto?

Question

Tengo el siguiente problema:

Dejemos que $G=\langle a_1,a_2,\ldots,a_n\rangle$ sea el grupo multiplicativo generado por $a_1,a_2,...,a_n$ . Demostrar que si $a_ia_j=a_j a_i$ $\forall i,j\in\{1,2,\ldots,n\}$ entonces $G$ es un grupo abeliano.

No entiendo qué significa "el grupo multiplicativo generado por $a_1,a_2,\ldots,a_n$ "? ¿Son los elementos en $G$ productos de la $a_i$ 's? Si es así, ¿cómo puedo escribir un elemento arbitrario de $G$ ?

Answer 1

Sí, tienes razón, un elemento en $G$ sería una cadena de la forma $$ a_{i_1}^{\pm 1}a_{i_2}^{\pm1}\cdots a_{i_k}^{\pm1}, $$ donde el $i,j \in \{ 1,2,\ldots , n\}$ . Entonces sabes si $a_ia_j = a_ja_i$ se puede poner cada elemento en la forma $$ a_1^{k_1} \cdots a_n^{k_n} $$ donde $k_i \in \mathbb{Z}$ .

Esto se debe a que si tenemos un elemento en la primera forma, podemos cambiar el orden de dos elementos cualesquiera de la cadena. Haciendo esto, podemos poner todos los $a_1$ 's en la parte delantera, entonces todos los $a_2$ a la izquierda $\textit{etc}$ hasta que tengamos el elemento en la forma deseada.

Como ejemplo, considere $$ a_3a_2a_1 $$ entonces sabemos $a_na_1 = a_1 a_2$ entonces $$ a_3a_2a_1 = a_3a_1a_2 $$ pero entonces $a_3a_1 = a_1a_3$ por lo que tenemos $$ a_3a_2a_1 = a_1a_3a_2 $$ y de nuevo $a_3a_2 = a_2a_3$ Por lo tanto $$ a_3a_2a_1 = a_1a_2a_3. $$

Answer 2

Si $G$ es el grupo multiplicativo generado por $a_1,a_2,\cdots,a_n$ Esto significa que cada elemento del grupo puede expresarse como la combinación (bajo la operación de grupo) de un número finito de elementos del subconjunto y sus inversos. Formalmente, si $x$ es un elemento arbitrario de $G$ entonces $x$ es de la siguiente forma: $$a_{i_1}^{k_1}a_{i_2}^{k_2}\cdots a_{i_n}^{k_n} $$ donde $k_1,\cdots,k_n\in \mathbb{Z}$ (la definición de potencias negativas como potencias de inversas), y $i_1,i_1\cdots,i_n\in\{1,\cdots,n\}$