Hace $\Delta u = f(|x|)$ significa que $u=v(|x|)$ para algunos $v$ ?

Question

Si $u$ resuelve $\Delta u = f(|x|)$ en $B_1 \subset \mathbb{R}^n$ para alguna función continua $f: [0,\infty) \to \mathbb{R}$ ¿significa eso que $u(x) = v(|x|)$ para alguna función $v$ ?

Creo que este es un resultado verdadero sobre las soluciones radialmente simétricas, pero puede que necesite una condición más que $u = 0$ en $\partial B_1$ . De todos modos, me resulta difícil mostrar este resultado.

Answer 1

Una pista: Esto podría no ser cierto

Toma $$u(x) = \sum_{i=1}^{n}x_i \implies \Delta u = 0 $$

o $$u(x) =\sum_{i=1}^{n}x_i^4\implies \Delta u = 12|x|^2$$ $$u(x) =\sum_{i=1}^{n}(x_i^4 +x_i)\implies \Delta u = 12|x|^2 $$

Answer 2

Supongamos que las condiciones de contorno producen una solución única, o al menos única hasta una constante.

La magia de la linealidad permite dividir $u$ en dos componentes, $$ u(x) = w(x) + v(\lvert x \rvert), $$ donde $\Delta w = 0 $ y $w$ satisface las condiciones de contorno, y $\Delta v = f $ y $v$ satisface las condiciones de contorno homogéneas; $v$ es radial, al menos en esta situación de unicidad global (se puede producir explícitamente una solución radial con integración unidimensional, y ésta es sólo una). Por supuesto, también se deduce que $w$ es único. También se puede escribir una expresión para $w$ explícitamente utilizando la integral de la función de Dirichlet/Green apropiada.

Una alternativa en bajas dimensiones sería utilizar expansiones armónicas esféricas, donde se tiene una componente radial y luego una carga de componentes dependientes del ángulo.

Answer 3

Sugerencia ¿Qué ocurre si se toma $u : \Bbb R^n \to \Bbb R$ para ser cualquier función armónica no radial (por ejemplo, la proyección sobre la primera componente)?