Igualdad de la desigualdad de Frobenius

Question

Considere el caso cuando $$\DeclareMathOperator{\Rank}{Rank}\Rank(AB) + \Rank(BC) = \Rank(B) + \Rank(ABC)$$

donde $A \in M_{m,k}(F)$ , $B \in M_{k,p}(F)$ y $C \in M_{p,n}(F)$ para cualquier campo $F$ .

Deseo demostrar que $$\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker}\Ker(AB) \subseteq \Ker(B) + \operatorname{Range}(C)$$

Llevo un tiempo atascado en este problema. En general el enunciado del problema ni siquiera tiene sentido para mí, me parece que $\Ker(AB)$ es un subconjunto de $F^m$ , $\Ker(B)$ es un subconjunto de $F^k$ y $ \operatorname{Range}(C)$ es un subconjunto de $F^n$ . Así que no veo cómo podríamos tener tal contención si las dimensiones no se alinean.

Cualquier ayuda se agradece, gracias.

Answer 1

Si $T:V\to W$ es un mapeo lineal, entonces el teorema de la dimensión dice $$ \dim V =\dim{N}(T)+\dim R(T) $$ donde ${N}(T)$ es el espacio nulo de $T$ y $R(T)$ es el rango de $T$ .

Dados los mapas lineales $T:V\to W$ y $S:W\to X$ podemos aplicar el teorema de la dimensión a $$ S|_{R(T)}:R(T)\to X $$ y obtener $$ \dim R(T) = \dim N(S|_{R(T)}) +\dim R(S|_{R(T)})=\dim \left[N(S)\cap R(T)\right] +\dim R(ST) $$ o de forma equivalente $$ \dim R(T)-\dim R(ST)=\dim \left[N(S)\cap R(T)\right]. $$

La ecuación dada puede escribirse como $$ \DeclareMathOperator{\Rank}{Rank}\Rank(B)-\Rank(AB) = \Rank(BC) -\Rank(ABC) $$ o $$ \dim R(B)-\dim R(AB) =\dim R(BC)-\dim R(ABC). $$ Como ya hemos visto, equivale a $$ \dim [N(A)\cap R(B)]=\dim [N(A)\cap R(BC)]. $$ Desde $N(A)\cap R(B)\ge N(A)\cap R(BC)$ , dice que los dos espacios son iguales.

Supongamos que $v\in N(AB)$ . Entonces $ABv=0$ implica que $$Bv\in N(A)\cap R(B)=N(A)\cap R(BC).$$ Por lo tanto, existe $w$ tal que $Bv = BCw$ . Ahora bien, como $B(v-Cw)=0$ existe $x\in N(B)$ tal que $v-Cw =x$ . Esto da $$ v= x +Cw \in N(B)+R(C), $$ probando $$N(AB)\le N(B)+R(C)$$ como se desee.