Disposición de seis triángulos en un hexágono

Question

Tienes seis triángulos. Dos son rojos, dos azules y dos verdes. ¿Cuántos hexágonos realmente diferentes puedes hacer combinando estos triángulos?

Tengo dos posibles enfoques para resolver esta cuestión:

1. En general, puede organizar $n$ objetos, de los cuales $a$ son del tipo uno, $b$ son del tipo dos, y $c$ son del tipo tres, en $\frac{n!}{a! \cdot b! \cdot c!}$ maneras. En este caso, $n = 6$ y $a = b = c = 2$ . Hay 90 formas posibles de disponer los seis triángulos. Sin embargo, los triángulos están en un círculo, lo que significa que seis disposiciones diferentes son en realidad una disposición realmente diferente. La división entre seis da como resultado 15 hexágonos posibles.

2. Es posible enumerar todos los arreglos diferentes, y contar cuántos arreglos realmente diferentes se pueden hacer. Hay seis formas diferentes de disponer los triángulos con los dos triángulos rojos uno al lado del otro. Hay seis formas diferentes de disponer los triángulos con un triángulo entre dos triángulos rojos. Hay cuatro formas diferentes de disponer los triángulos con dos triángulos entre dos triángulos rojos. El resultado son 16 hexágonos posibles. También escribí un sencillo programa de ordenador que prueba todas las combinaciones posibles y cuenta cuántas son diferentes, y confirma la respuesta 16.

Resulta que el segundo enfoque es el correcto, y 16 es la respuesta correcta. Puedo enumerar 16 hexágonos diferentes que son todos distintos. Ahora mi pregunta es, ¿qué hay de malo en el primer enfoque? ¿Dónde está el error?

Observaciones: Al disponer los 16 hexágonos diferentes en líneas, se pueden crear seis disposiciones diferentes para cada hexágono, pero esto da lugar a dobles. Hay menos de 96 disposiciones diferentes en una línea. Esto no contradice la primera aproximación, en la que no hay dobles.

Answer 1

Quieres contar cada colección de hexágonos interrelacionados por rotaciones como un único hexágono "verdaderamente diferente". Si $X$ es el conjunto de hexágonos, y $G$ es el grupo de rotaciones, entonces se quiere encontrar $|X/G|$ : el número de órbitas de elementos de $X$ en $G$ . El lema de Burnside da la ecuación para esto: $$ |X/G| = \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G}|X^{g}| = \frac{|X|}{|G|} + \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G | g \neq e}|X^g|, $$ donde $X^g$ es el conjunto de elementos fijados por $g$ y la segunda suma excluye el elemento de identidad de $G$ . En este caso, has contado correctamente $|G|=6$ y $|X|=90$ y, por lo tanto, si ningún hexágono fuera fijado por una rotación distinta de cero, entonces $90/6=15$ sería la respuesta correcta. Sin embargo, hay $6$ hexágonos fijados por el $180^{\circ}$ rotación, dando una contribución adicional de $6/6=1$ para un total de $15+1=16$ .

Answer 2

El problema en el enfoque 1 es su suposición de que cada arreglo tiene 6 rotaciones distinguibles de ese arreglo. Esto no es cierto, porque algunos arreglos se conservan con una media rotación de 180 grados. (También deberíamos comprobar si hay arreglos que se conservan con una tercera rotación de 120 grados, pero no hay ninguno de esos).

¿Qué permutaciones se conservan con una media vuelta? RGBRGB (identificado con GBRGBR y BRGBRG) y RBGRBG (identificado con BGRBGR y GRBGRB). Así, entre las 90 permutaciones totales, tenemos 84 que provienen de 14 posibilidades por las 6 rotaciones y 6 que provienen de 2 posibilidades por las 3 rotaciones.

Answer 3