(a) Dé un ejemplo de un $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tal que $\mathcal{L}^p(\mathbb{R})\not\ni f\in\mathcal{L}^q(\mathbb{R})$ para $1\leq p\leq q$
(b) Dé un ejemplo de un $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tal que $\mathcal{L}^\infty(\mathbb{R})\not\ni f\in\mathcal{L}^p(\mathbb{R})$ para $ p \in[1,\infty)$
$f\in\mathcal{L}^q(\mathbb{R})$ si
$$\int_\mathbb{R} |f|^q \;d\mu < \infty$$
(a)
$$f(x) = e^{{-x}^{1/q}} \textbf{1}_{[0, \infty)}$$
Entonces
$$\int_\mathbb{R} \left| e^{{-x}^{1/q}} \textbf{1}_{[0, \infty)}\right|^q \;d\mu = \int_{[0,\infty)} e^{-x} \;d\mu = 1$$
$$\int_\mathbb{R} \left| e^{{-x}^{1/q}} \textbf{1}_{[0, \infty)}\right|^p \;d\mu = \int_{[0,\infty)} e^{{-x}^{p/q}} \;d\mu = \infty$$
Parece un ejemplo complicado (se necesita un análisis complejo para demostrar que la última integral no converge), pero no se me ocurre nada más sencillo.
Creo que debería haber un ejemplo mucho más sencillo.
(b)
$f\in\mathcal{L}^\infty$ si $f$ está acotada en casi todas partes, es decir $|f |\leq c \quad a.e$ para algunos $c\geq0$
$$f(x)=\begin{cases} x&x\in\mathbb{Q} \\ 0&otherwise \end{cases}$$
$f(x)$ no está acotado y $$\int_\mathbb{R} |f|^p \;d\mu = 0$$ para todos $p\in[0,\infty)$
Necesito ayuda para verificar estos ejemplos y sugerencias sobre otros ejemplos quizás más fáciles/más intuitivos.
