Probabilidades de corona pequeñas (y suposición de margen dimensional infinito)

Question

Mi pregunta es: ¿Cómo puedo encontrar agudo límites superiores de $P(|q|\leq \epsilon)$ uniformemente sobre un conjunto de polinomas gaussianos $q$ de grado dos.

Notas y definiciones (para que la pregunta sea rigurosa)

• Permítanme definir $\mathcal{X}_{2}^*$ como el conjunto de variables aleatorias reales $q$ que se puede escribir $$q=c+\sum_{i\geq 1}\beta_i (\xi_i^2-1)+\alpha_i\xi_i$$ con $c\in \mathbb{R}$ , $\beta=(\beta_i)_i\in l_2(\mathbb{N})$ , $\alpha=(\alpha_i)_i\in l^2(\mathbb{N})$ y $(\xi_i)_{i\in \mathbb{N}}$ una secuencia de variables aleatorias gaussianas iid con media $0$ y la varianza $1$ . Este conjunto se conoce también como polinomio gaussiano de grado dos (véase por ejemplo el libro de Bogachev 1998).

• Dejemos que $q\in \mathcal{X}_2^*$ dado por $q=c+\sum_{i\geq 0}\alpha_i\xi_i+\sum_{i}\beta_i(\xi_i^2-1)$ Utilizo la notación $$n_2(q)=\max_i |\beta_i|, \;\; \sigma(q)=\left (\sum_{i\geq 0}2\beta_i^2+\alpha_i^2\right )^{1/2}$$ .

• Propongo utilizar lo siguiente conjuntos de polinomas : $$ \Gamma_{2}(c)= ( q\in \mathcal{X}_{2}^*\;:\sigma(q)\geq c),\; \Gamma_{\infty}(c)=(q\in \mathcal{X}_{2}^*\;:n_2(q)\geq c) $$ y $$ \Gamma_{1}(c)=(q\in \mathcal{X}_{2}^*\;:|\mathbb{E}(q)|\geq c). $$

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Motivación de este problema

Cabe destacar que este problema aparece cuando se quiere comprobar el llamado Condiciones de ruido en un problema de clasificación gaussiana de dimensión infinita.... De todos modos, lo llamé pequeña corona, aunque no siempre es una corona ... debe ser fácil para el experto de "probabilidades de bola pequeña" ?

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Lo que tengo hasta ahora

1. Existe $C(c_0)>0$ tal que $\forall \epsilon>0\; \sup_{q\in \Gamma_1(c_0)} P(|q|\leq \epsilon)\leq C(c_0)\epsilon^{2/7}$
2. Existe $C'(c_0)>0$ tal que $\forall \epsilon>0$ $\sup_{q\in \Gamma_2(c_0)} P(|q|\leq \epsilon)\leq C'(c_0)\epsilon^{1/3}$ .
3. Dejemos que $q\in \mathcal{X}_{2}^*$ para todos $\epsilon> 0$ , $P(|q|\leq \epsilon) \leq \sqrt{\frac{1}{\pi}\frac{\epsilon}{n_2(q)}}$ .

Comentarios El punto 3 es fácil, pero los puntos 1 y 2 lo son menos. Puedo proporcionar un enlace a la prueba si se desea. Si $n_2(q)=\max_{i}|\beta_i|>c_0$ , límite del punto $3$ es óptima en el sentido de que si $\beta=(1,0,\dots)$ , $c=1$ y $\alpha=0$ obtenemos $P(|q|\leq \epsilon)=P(|\xi^2|\leq \epsilon)\sim C\epsilon^{1/2}$ (para una constante $C$ que se puede calcular explícitamente). Tengo problemas para los casos 1 y 2 ....

Mi análisis y conjetura: Cuando $\|\beta\|2 \rightarrow 0$ ( $l^2$ norma) el comportamiento de $P(|q|\leq \epsilon)$ tiende a ser el mismo comportamiento que $P(|\|\alpha\|_{l^2} \mathcal{N}(0,1)-c|\leq \epsilon)\sim C'(c_0)\epsilon$ . Además, es posible conjeturar que el punto $1$ y $2$ del Teorema se puede mejorar (para obtener el exponente $1/2$ en lugar de $2/7$ y $1/3$ ). Los casos difíciles de estudiar son aquellos con $\|\beta\|_{\infty}\rightarrow 0$ pero $\|\beta\|2$ no tiende a cero (ahí, en la prueba de los puntos 1 y 2 uso una aproximación gaussiana de q). Obsérvese que cuando se restringe a $\beta=0$ la respuesta al punto 2 es que el mejor exponente es 1! por lo tanto una brecha entre la forma lineal y la cuadrática...

Algunas de las ideas que he probado (sin éxito :( )

1. Utilizando una fórmula explícita de la densidad (si la densidad de $q$ está uniformemente en $L^p$ para una buena $p$ entonces hemos terminado ) utilizando funciones características.

2. Usando la desigualdad óptima de Young (tenemos un número infinito de circunvoluciones para construir q)

Answer 1

He aquí una solución para el problema 2, con potencia $1/2$ Utilizando su idea 1. Primero algunos cálculos. Sean A, B números reales, sea z ~ N(0,1), y X= $B(z^2-1) + Az$ . La transformada de Fourier de la distribución de X (es decir, la función característica de X con algún $\pi$ ) es

$\; \; \; \;\; \; \; \;E(exp(-2\pi i\xi X) = \frac{e^{2\pi i \xi B - \frac{2\pi^2 A^2 \xi^2}{1+4\pi i B \xi}}}{\sqrt{1+4\pi i\xi B}}$

donde la raíz cuadrada es la que tiene parte real positiva. Entonces

$\; \; \; \;\; \; \; |E(exp(-2\pi i\xi X)|^2 = \frac{e^{- \frac{4\pi^2 A^2 \xi^2}{1+16\pi^2 B^2 \xi^2} }} {1+16\pi^2 \xi^2 B^2}$

También tenemos para cualquier par de números reales $a, b\ge 0$

$\; \; \; \;\; \; \; \ln(\frac{1+8b + 4a}{1+16b}) < \ln(1+\frac{4a}{1+16b})\le \frac{4a}{1+16b}$

En particular,

$\; \; \; \;\; \; \; -\frac{4a}{1+16b} - \ln(1+16b)<-\ln(1+4(2b + a))$

así, con $a=\pi^2\xi^2 A^2$ y $b=\pi^2\xi^2 B^2$

$\; \; \; \;\; \; \; |E(exp(-2\pi i\xi X)|^2 \le \frac{1} {1+4\pi^2 \xi^2 (2B^2+A^2)}.$

Se deduce que la transformada de Fourier de un polinomio gaussiano de grado dos $q$ satisface, con notación como en su definición:

$\; \; \; \;\; \; \; |E(exp(-2\pi i\xi q)|^2 \le \prod_{j}{\frac{1} {1+4\pi^2 \xi^2 (2\beta_j^2+\alpha_j^2)}}\le\frac{1}{1+4\pi^2\xi^2\sigma(q)^2}.$

Entonces, la densidad de $q$ está acotado en $L^2$ , de manera uniforme en $\Gamma_2(c_0)$ y por lo tanto existe una constante $C'$ tal que para todo $\epsilon>0$

$\; \; \; \;\; \; \;\sup_{q\in \Gamma_2(c_0)} P(|q|\leq \epsilon)\leq C'\epsilon^{1/2}.$

Answer 2

He aquí una contribución al problema 1, con una potencia arbitraria cercana a $1/2$ . En primer lugar, podemos suponer $c_0 = 1$ y $0<\epsilon<.5$ ya que el caso general se reduce a este caso. Entonces, para un polinomio gaussiano cuadrático $q = 1 + q_0$ con $E(q_0)=0$ ,

$\;\;\;\;\;\;P(|q| \le\epsilon) \le P( |q_0|\ge(1-\epsilon))\le \frac{E(|q_0|^p)}{(1-\epsilon)^p}\le$ $ C_1(p)\sigma(q_0)^{p}\le C_2\epsilon^\lambda$

proporcionado $\;\;\\sigma(q_0)^{p}\le\epsilon^\lambda$ . Pero, a partir de la solución a 2,

$\;\;\;\;\;\;P(|q| \le\epsilon) \le C_3\(\frac{\epsilon}{\sigma(q_0)})^{1/2}\le C_3 \epsilon^{\frac{1}{2}-\frac{\lambda}{p}}$

proporcionado $\;\;\sigma(q_0)^{p}>\epsilon^\lambda$ . Tomando $\lambda=\frac{1}{2+\frac{2}{p}}$ ambos casos están vinculados por el mismo poder de $\epsilon$ y obtenemos

$\;\;\;\;\;\;P(|q| \le\epsilon) \le C_4 \epsilon^{\frac{1}{2+(2/p)}}$

si $\sigma(q_0)$ es grande o pequeño.