Demuestre que dos funciones continuas que son suryentes sobre el mismo intervalo se intersecan

Question

Digamos que tengo dos funciones $f$ y $g$ que son continuos en el intervalo $[a,b]$ y también tienen el mismo dominio (edit: quise decir rango no dominio) $D_{fg}$ en ese intervalo:

$\forall y \in D_{fg}. \exists x_1, x_2 \in [a,b]. f(x_1) = y \land g(x_2) = y$

Si este es el caso, entonces $f$ y $g$ debe intersecarse en al menos un punto. (Esto resulta obvio con un trozo de papel. Si dibujas la función única como suryente con respecto a $D_{fg}$ y continua en el intervalo no es posible dibujar también la otra como continua y sobreyectiva respecto a $D_{fg}$ en el intervalo sin que las líneas se crucen)

Entonces, formalmente:

$\forall y \in D_{fg}. \exists x_1, x_2 \in [a,b]. f(x_1) = y \land g(x_2) = y \implies \exists y \in D_{fg}. \exists x. f(x) = g(x) = y$

Sin embargo, ¿cómo puedo demostrar esta implicación?

Answer 1

Por el teorema del valor extremo, existe un $x_f$ tal que $f(x_f) = \max\{f(x)\mid x \in [a,b]\}$ y un $x_g$ tal que $g(x_g) = \max\{g(x)\mid x \in [a,b]\}$ . Además, $f(x_f) = g(x_g) = c$ . Si $g(x_f) = c$ o $f(x_g) = c$ hemos terminado. Por lo demás, $g(x_f) < c = f(x_f)$ y $f(x_g) < c = g(x_g)$ . Ahora aplique el teorema del valor intermedio a $f - g$ en el intervalo $[x_f,x_g]$ o $[x_g,x_f]$ .

Answer 2

Dado que las dos funciones tienen el mismo rango (supongo que eso es lo que querías decir; si no, la pregunta no es cierta) entonces hay valores $a \le c, d \le b$ con $c \ne d$ tal que $f(c) \le f(x) \le f(d)$ y $f(c) \le g(x) \le f(d)$ para $a \le x \le b$ .

Asumiré que $c < d$ . Si $c > d$ , sólo hay que cambiarlos en lo que sigue.

Considere $h(x) = f(x)-g(x)$ para $c \le x \le d$ .

Entonces $h(c) = f(c)-g(c) \le 0$ (ya que $f(c) \le g(x)$ para $c \le x \le d$ ) y $h(d) = f(d)-g(d) \ge 0$ (ya que $f(d) \ge g(x)$ para $c \le x \le d$ ).

Por lo tanto, hay un punto $v$ tal que $c \le v \le d$ y $0 = h(v) =f(v)-g(v) $ o $f(v) = g(v)$ .