Rigor en la teoría cuántica de campos

Question

La teoría cuántica de campos es un tema amplio y goza de la reputación de la utilización de métodos que son matemáticamente deseando. Por ejemplo, el trabajo con y restando infinitos o el uso de las integrales de camino, que en general no tienen ningún significado matemático (al menos no todavía) ect. Mi pregunta es un poco vago, pero estoy interesado en escuchar lo que es el estado de rigor en QFT. Lo que se sabe para ser matemáticamente riguroso y coherente, lo que se conoce para no ser riguroso? Cualquiera de los ejemplos y las referencias son bienvenidos.

Añadido: Solo para aclarar por riguroso quise decir nada de lo que un matemático podría encontrar satisfactoria. También mi pregunta no es para libros con riguroso (en algún sentido), a pesar de que fue bien acogido. Fue sobre ejemplos concretos de lo que se considera matemáticamente satisfactoria y lo que no. Por ejemplo, la cuantización de campos libres satisfacción de Klein-Gordon ecuación se puede hacer de una manera rigurosa. No hay ninguna definición matemática en general de la Feynman ruta integral y así sucesivamente.

Answer 1

Su declaración

trabajar con y restando infinitos ... que en general no tienen ningún significado matemático

no es realmente correcto, y parece haber un malentendido común en ella. Las dificultades técnicas de QFT no provienen de los infinitos. De hecho, las ideas básicamente equivalente a renormalization y la regularización se han utilizado desde el principio de las matemáticas-ver, por ejemplo, muchos artículos de Cauchy, Euler, Riemann, etc. De hecho, G. H. Hardy tiene un libro publicado sobre el tema de divergente la serie:

http://www.amazon.com/Divergent-AMS-Chelsea-Publishing-Hardy/dp/0821826492

Incluso hay toda una rama de la matemática llamada "integración de la teoría" (de que cosas como la integración de Lebesgue es un subconjunto) que generaliza estos tipos de problemas. Así que, habiendo infinitos muestran no es un problema en absoluto, en un sentido, se muestran de la conveniencia.

Así que la idea de que los infinitos tienen nada que ver con la elaboración de QFT axiomática no es correcto.

El verdadero problema, desde un punto de vista formal, es que "quieren" construir QFTs a través de algún tipo de ruta de acceso integral. Pero el camino integral, formalmente (es decir, a los matemáticos) es una integral (en el sentido general que aparece en temas como "la integración de la teoría") a través de un bonito patológicos en busca de infinitas dimensiones LCSC función de espacio.

Tratando de definir una medida razonable en un infinito dimensional espacio es problemático (y las propiedades generales de estos espacios no parece ser particularmente bien entendido). Ejecutar en problemas como tener todos los conjuntos de ser "demasiado pequeño" para tener una medida, la preocupación acerca de las medidas de alteraciones patológicas de los conjuntos, y de preocuparse por lo que las propiedades de la medida debe tener, tener que preocuparse por si el "$\mathcal{D}\phi$" plazo es aún una medida en todo, etc...

A lo mejor, tratando de solucionar este problema, se debería ejecutar en un problema como el que usted tiene en la integral de Lebesgue de la definición, donde se define la integral y construir algunos matemáticamente propiedades interesantes, pero la mayoría de su utilidad está en dejar que el abuso de la integral de Riemann en la forma que quería. En realidad el cálculo de las integrales de la definición de la integral de Lebesgue en general no es fácil. Esto no es realmente suficiente para atraer la atención de muchos físicos, puesto que ya tenemos una definición que funciona, y conocer todas sus propiedades formales iba a ser agradable, y sin duda nos dicen algunas cosas sorprendentes, pero no está claro que sería del todo útil en general.

A partir de una expresión algebraica punto de vista, creo que tiene problemas con el intento de definir divergentes de los productos de los operadores que dependen de renormalization esquema, por lo que es necesario tener algunos de la familia de $C^*$-álgebras que respeta renormalization grupo de flujo en el camino correcto, pero no me parece bien que la gente ha tratado de hacer esto de una manera razonable.

A partir de una física punto de vista, no nos importa nada de esto, porque podemos hablar de renormalization, y la demanda que nuestras respuestas han "físicamente razonable de las propiedades". Usted puede hacer esto matemáticamente, también, pero los matemáticos no están interesados en la obtención de una respuesta razonable; lo que quieren es un conjunto de "razonable axiomas" que el razonable respuestas siguen, por lo que están condenados a ejecutar en dificultades técnicas, como he mencionado anteriormente.

Formalmente, sin embargo, uno puede definir la no-interacción QFTs, y la mecánica cuántica ruta de las integrales. Es probablemente el caso de que formalmente la definición de un QFT está dentro del alcance de lo que podría hacer si realmente queríamos, pero simplemente no es un atractivo tema para la gente que entiende cómo renormalization corrige las soluciones físicamente razonable (físicos), y los aspectos formales no son bien entendidos suficiente que es algo que uno podría tener la formalismo para "gratis".

Así que mi impresión es que ni los físicos o matemáticos en general la atención suficiente a trabajar juntos para resolver este problema, y no se resolverá hasta que se puede hacer "gratis" como consecuencia de la comprensión de otras cosas.

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Editar:

También debo agregar brevemente que CFTs y SCFTs son matemáticamente mucho más cuidadosamente definidos, por lo que una alternativa razonable para el clásico ideas que he mencionado anteriormente podría ser comenzar con un SCFT, y definir un campo general de la teoría, como una especie de "pequeña" modificación de la misma, hecho de tal manera de mantener las cosas correctas y bien definido.

Answer 2

Primero: no es riguroso en la construcción del modelo estándar, rigurosa en el sentido de las matemáticas (y no, no hay mucho escepticismo sobre el significado de rigor en las matemáticas).

Eso es un montón de referencias que Daniel citado, voy a tratar de clasificarlos un poco :-)

Axiomático (sinónimo: local o algebraica) QFT trata de formular axiomas para los Heisenberg punto de vista (estados son estáticas, observables son dinámicos). Hay tres conjuntos de axiomas conocidos:

• el Wightman axiomas,

• el Haag-Kastler axiomas

• el Osterwalder-Schrader axiomas

Aproximadamente, el Wightman axiomas describir cómo los campos se refieren a características observables, la Osterwalder-Schrader son los axiomas de la Wightman axiomas de Euclides campo de la teoría, y la Haag-Kastler axiomas dodge campos completamente y describir las características observables de por sí. Los tres conjuntos de axiomas son casi equivalentes, lo que significa que la equivalencia se ha demostrado, a veces con supuestos adicionales que los físicos consideran irrelevante.

"PCT, los giros y las Estadísticas, y Todo lo Que" fue la primera introducción a la Wightman axiomas.

"Local de la Física Cuántica: Campos, Partículas, Álgebras" es una introducción a la Haag-Kastler axiomas, como es la "Matemática de la Teoría Cuántica de Campos".

"Perturbativa de la Electrodinámica Cuántica y Axiomático Teoría de Campo" es una descripción de QED desde el punto de vista de la Haag-Kastler axiomas.

"Introducción a la Algebraicas y Constructivo de la Teoría Cuántica de campos" es sobre la cuantización de ecuaciones clásicas en el espíritu de Haag-Kastler.

"La Física cuántica: Una Funcional Integral del Punto de Vista" utiliza el Osterwalder-Schrader axiomas.

2D la teoría conforme de campos puede ser axiomatized el uso de la Osterwalder-Schrader axiomas, por ejemplo.

Functorial la teoría cuántica de campos axiomatizes el punto de vista de Schrödinger, ver, por ejemplo, hnLab en FQFT.

Esto incluye, por ejemplo topológica de las teorías cuánticas del campo, estos describen esencialmente teorías con finito de grados de libertad. Esta rama ha tenido un gran impacto en las matemáticas, especialmente con respecto a la geometría diferencial, y de aquí a la teoría de la 3D y 4D suave colectores. Yo pondría

Daniel S. Liberado (Autor), Karen K. Uhlenbeck: "la Geometría y la Teoría Cuántica de campos"

en esta categoría.

"La geometría y la Teoría Cuántica de campos"

La cuantificación de campo clásicos de las teorías: tenga en cuenta que la axiomática enfoques no dependen de campo clásicos de las teorías que necesitan ser cuantificadas, se abren las puertas para dirigir la construcción de sistemas cuánticos sin clásica espejo. El enfoque de Lagrange para QFT es un ejemplo de un ansatz que comienza con un clásico de la teoría de campo que necesita ser cuantificada, para que los diferentes medios pueden ser utilizados.

Ticciati: "la Teoría Cuántica de campos para los Matemáticos" es en realidad una muy canónica introducción a Lagrange QFT, sin mucho ruido.

Hay una gran cantidad de material acerca de la geometría clásica campo de las teorías y las variantes para cuantizar ellos, como "geométrica de cuantización".

El libro Welington de Melo, Edson de Faria: "Aspectos Matemáticos de la Teoría Cuántica de campos" es un ejemplo de esto.

Mucho más avanzado es "Cuántica de Campos y Cuerdas: Un Curso para los Matemáticos (2 vols)"

Para la ruta integral hay dos puntos de vista:

• La ruta integral - junto con las reglas de Feynman - es un libro de mantenimiento de dispositivo para un juego llamado renormalization, que permite calcular los números de acuerdo a arcana reglas,

• la ruta integral es una construcción matemática como una "medida" - pero no es una medida en el sentido de la teoría de la medida conocida hoy en día - que necesita ser descubierto y definido apropiadamente.

AFAIK no ha habido mucho progreso con el segundo punto de vista, pero hay gente trabajando en ello, por ejemplo, los autores del libro "Teoría Matemática de Feynman Ruta de las Integrales: Una Introducción". Usted puede encontrar mucho más material sobre la teoría matemática de la ruta de las integrales en la nLab aquí.

Answer 3

Aquí está mi respuesta a partir de una física de la materia condensada punto de vista:

La teoría cuántica de campos es una teoría que describe el punto crítico y el vecino de el punto crítico de un modelo de celosía. (Celosía modelos tienen una definición rigurosa).

Tan rigurosamente definir o clasificar las teorías cuánticas del campo es clasificar todos los posibles puntos críticos de los modelos de celosía, que es muy importante y muy difícil de proyecto.

(Uno puede reemplazar "celosía modelo" en la de arriba por "no-perturbativa regulado modelo")

Answer 4

Hay varios libros que enfoque QFT (y/o Teoría de Gauge) de los diferentes niveles de la matemática de rigor' (para algunos definición de "rigor matemático" - que Moshé aprobaría ;-).

Así que, permítanme darles algún tipo de "lista preliminar'... es de ninguna manera completa, y es en ningún orden en particular, pero creo que puede allanar el camino para futuros trabajos.

1. Local De La Física Cuántica: Campos, Partículas, Álgebras;
2. PCT, los giros y las Estadísticas, y Todo lo Que;
3. Finito De La Electrodinámica Cuántica: La Aproximación Causal;
4. Perturbativa de la Electrodinámica Cuántica y Axiomático Teoría del Campo;
5. La Teoría cuántica de campos para los Matemáticos;
6. La Teoría Cuántica De Campos;
7. Aspectos matemáticos de la Teoría Cuántica de campos;
8. La Mecánica cuántica y la Teoría Cuántica de campos: Un Matemático de la Cartilla;
9. La Teoría cuántica de campos I: conceptos Básicos de la Física y las Matemáticas: Un Puente entre los Matemáticos y los Físicos (v. 1) y la Teoría Cuántica de campos II: la Electrodinámica Cuántica: Un Puente entre Matemáticos y Físicos;
10. La Teoría matemática de Feynman Ruta de las Integrales: Una Introducción;
11. Introducción a la Algebraicas y Constructivo de la Teoría Cuántica de campos;
12. La Física cuántica: Una Funcional Integral del Punto de Vista;
13. Cuántica de Campos y Cuerdas: Un Curso para los Matemáticos (2 vols);
14. La geometría y la Teoría Cuántica de campos;
15. Matemático de la Teoría Cuántica de Campos.

En cualquier caso... no hay mucho más ahí fuera, no sólo en términos de temas (renormalization, etc), pero también en términos de artículos, libros y así sucesivamente.

Por lo tanto, hay un montón de "rigor matemático" en QFT (y la Teoría de las cuerdas, para el caso), incluyendo diferentes "niveles" de la misma, que deben complacer y satisfacer diversos gustos.

PS: Hay otros temas que tienen que ver con este tema de una forma u otra, por ejemplo, Haag y Teorema de Práctica QFT Cálculos. Así que, no seas tímido y echar un vistazo alrededor. :-)

Answer 5

Me voy a dar una referencia que yo no (todavía) logró terminar a mí mismo. Pero se ve muy riguroso:

N. N. Bogoliubov, A. A. Logunov, A. I. Oksak, I. T. Todorov (1990): Principios Generales de la Teoría Cuántica de campos. (ISBN 0-7923-0540-X. ISBN 978-0-7923-0540-8.)

Es lo que yo llamo "Bogoliubov enfoque" de la QFT.