Un filtro en un conjunto compacto con un solo punto de agrupación debe converger.

Question

Supongamos que $\mathcal{F}$ es un filtro en un espacio topológico compacto $(X,\tau)$ y $\mathcal{F}$ sólo tiene un punto de agrupación, $x\in X$ (recordar $x$ es un punto de agrupación de $\mathcal{F}$ significa que $x\in \overline {F}$ por cada $F\in\mathcal{F}).$

Estoy tratando de mostrar que $\mathcal{F}\rightarrow x $ (es decir, que $\mathcal{F}$ contiene todo conjunto abierto que contiene $x$ ).

No estoy seguro de cómo hacer un progreso significativo. Sé que si $X$ es más compacto que todos los ultrafiltros de $X$ converge y para un ultrafiltro tenemos que los puntos límite y los puntos de cluster son los mismos. Así que si pudiera mostrar algo como $\mathcal{F}$ es un ultrafiltro entonces habríamos terminado. Pero no estoy seguro de que esto sea cierto.

¿Cómo debo proceder?

Answer 1

Para demostrar que $\mathcal{F}$ converge a $x$ es mostrar $\mathscr{V}(x) \subset \mathcal{F}$ , donde $\mathscr{V}(x)$ es el filtro de vecindad de $x$ (V de voisinage).

Así que puede demostrar que si $\mathscr{V}(x) \not\subset \mathcal{F}$ entonces $\mathcal{F}$ tiene un punto de agrupación distinto de $x$ . $\mathscr{V}(x) \not\subset \mathcal{F}$ significa que hay una vecindad $V$ de $x$ tal que $V \notin \mathcal{F}$ . Por las propiedades del filtro, podemos suponer $V$ abierto, ya que $\operatorname{int} V \in \mathcal{F} \implies V \in \mathcal{F}$ . Entonces la familia

$$\{ F \setminus V : F \in \mathcal{F}\}$$

es un filtro en el conjunto compacto $X\setminus V$ por lo que tiene un punto de agrupación $y \in X\setminus V$ . Entonces $y$ es también un punto de agrupación de $\mathcal{F}$ .