¿Cómo definir un espacio generado de forma compacta?

Question

Me comprometí con dos definiciones para un espacio generado de forma compacta:

http://en.wikipedia.org/wiki/Compactly_generated_space

1) En topología, un espacio generado de forma compacta (o espacio k) es un espacio topológico cuya topología es coherente con la familia de todos los subespacios compactos. En concreto, un espacio topológico $X$ está generada de forma compacta si satisface la siguiente condición: Un subespacio $A$ está cerrado en $X$ si y sólo si $A\cap K$ está cerrado en $K$ para todos los subespacios compactos $K\subseteq X$ .

http://neil-strickland.staff.shef.ac.uk/courses/homotopy/cgwh.pdf

2) Un subconjunto $Y\subseteq X$ es $k$ -cerrado si $u^{-1}\left(Y\right)$ está cerrado en $K$ para todo espacio compacto de Hausdorff $K$ y todo mapa continuo $u:K\rightarrow X$ . Estos conjuntos pueden ser reconocidos como los conjuntos cerrados de una topología (más fina que la topología original) y decimos que $X$ se genera de forma compacta si esta topología no es propiamente más fina que la topología original.

Pregunta: ¿son equivalentes estas definiciones? Y si no es así, ¿cuál es la más habitual y/o conveniente de practicar?

Answer 1

(Con disculpas por introducir otro término, intentaré evitar la ambigüedad llamando a los espacios definidos en wikipedia "cuasicompactos", y a los espacios definidos en las notas de Strickland " $k$ -espacios". Afortunadamente no estamos considerando también la definición de Kelley, ¡así que no necesito un tercer término! Se puede encontrar más discusión sobre las diferentes definiciones posibles aquí .)

Como se ha dicho en los comentarios, estas dos definiciones no son equivalentes. En cuanto a la utilidad, no sé cómo se utilizan estos espacios fuera de la topología algebraica (¡pero estaría bien que alguien explicara otro uso de estos espacios!). El $k$ -son los que se utilizan en topología algebraica. La razón principal por la que se utilizan es que $k$ -espacios forman un categoría cerrada cartesiana , lo que significa que los espacios de mapas continuos se comportan bien. Esto implica hechos tan agradables como: si $q: X \to Y$ es un mapa cociente entre $k$ -espacios, entonces $\mathrm{Id}_Z \times q : Z \times X \to Z \times Y$ es un mapa cociente, cuando los productos se toman en la categoría de $k$ -espacios. No veo ninguna razón para esperar que los espacios generados por los cuasicompactos sean cartesianos cerrados, aunque no sé con seguridad que no lo sean.

Nótese además que los topólogos algebraicos suelen imponer una condición débil de Hausdorff a sus $k$ -espacios, como se comenta en las notas de Strickland. Para ver una discusión sobre por qué se utiliza esta condición de Hausdorff débil en lugar de la de Hausdorff, véase aquí y aquí .