Estoy buscando sugerencias sobre cómo abordar el campo de los grupos de Lie y las álgebras de Lie. Conozco tanto los conceptos algebraicos elementales, habiendo estudiado desde "Álgebra I-III" de Bourbaki, como la teoría elemental de los manifiestos, tanto topológicos como lisos, habiendo estudiado desde "Introduction to Topological Manifolds" e "Introduction to Smooth Manifolds" de Lee. Lee dedica algunos capítulos a los grupos de Lie y a las álgebras de Lie, que he leído, pero en cierto modo creo que estudiar de los libros de texto destinados a cubrir específicamente los grupos de Lie y las álgebras de Lie sería un mejor punto de partida, incluso desde un punto de vista introductorio.
Entonces, ¿por dónde empiezo? Mi interés se centra sobre todo en las aplicaciones de la teoría de Lie a la Física teórica, pero me gusta abordar los temas matemáticos desde el punto de vista de un matemático, para no perder nada por el camino. En primer lugar, me gustaría saber cómo está estructurado el campo de los grupos de Lie y las álgebras de Lie, es decir, cuáles son los objetivos de la teoría, sus contenidos principales, etc., para poder orientarme, por así decirlo. Luego, me gustaría saber qué libros de texto creéis que son buenas introducciones al tema. Como he dicho, estoy familiarizado con las teorías de las variedades lisas y las álgebras, así que, si es posible, agradecería recomendaciones sobre libros que se salten esos temas. Por otro lado, aún no he estudiado nada sobre variedades complejas, por lo que me pregunto si debería echar un buen vistazo a ese tema primero. Los temas que me interesan especialmente son las representaciones de los grupos de Lie, las constantes de estructura de las álgebras de Lie y las acciones de los grupos de Lie en las variedades lisas. También necesitaría algo de cobertura de los productos semidirectos de los grupos de Lie y, especialmente, de sus álgebras de Lie (léase: debo saber cómo lidiar con el grupo de Poincaré). Por último, agradecería recomendaciones sobre libros de texto que cubran explícitamente las aplicaciones de la teoría de Lie a la física teórica: mecánica cuántica y física de partículas, relatividad general, sistemas hamiltonianos (preferiblemente con alguna cobertura del enfoque lagrangiano de la mecánica y del teorema de Noether). Gracias de antemano por sus respuestas.
P.D.: Tengo un ejemplar de "Lie Groups and Lie Algebras I-III" de Bourbaki. ¿Cómo puedo hacer que encaje en mi estudio?
