Antiguo y fresco integral $\int_0^{\pi} \sin^{b-1}(x) \sin(a x) \ dx=\frac{\pi \sin(a \pi/2)}{2^{b-1}b B\left(\frac{b+a+1}{2},\frac{b-a+1}{2}\right)}$

Question

Aquí hay una integral que aparece en la tabla de integrales de Gradshtein y Ryzhik, también fue estudiada por Ramanujan (no estoy seguro de que se haya encontrado su solución original - parece que no aparece en
cualquiera de los cuadernos).

$$\int_0^{\pi} \sin^{b-1}(x) \sin(a x) \ dx=\frac{\pi \sin(a \pi/2)}{2^{b-1}b B\left(\frac{b+a+1}{2},\frac{b-a+1}{2}\right)}$$

Ahora, por medio de un análisis complejo, uno puede acabar con ello, No me interesa esa solución . Pero pensando en Ramanujan estoy seguro de que tenía una solución utilizando métodos de análisis real (y para evitar
posibles malentendidos, me refiero a no tocar los números complejos - para ser claros).

¿Conoce esa solución? Publícalo sólo si quieres, sólo tengo curiosidad por saber si se conocen tales soluciones, tal vez algunas soluciones simples de este tipo?

Aplicación de la integral anterior (pregunta complementaria)

Demostrar que

$$\int_0^{\pi/2} \frac{\log (\sin (x))+x \csc ^2(x)-x \cot (x)}{x^2+\log ^2(\sin (x))} \, dx=\text{Si}\left(\frac{\pi }{2}\right),$$

http://mathworld.wolfram.com/SineIntegral.html

o simplemente mostrar que

$$\int_0^{\pi/2} \frac{x \cot (x)-\log (\sin (x))}{x^2+\log ^2(\sin (x))} \, dx=\frac{\pi}{2}.$$

Answer 1

En realidad, la integral complementaria puede integrarse directamente, sin recurrir a la integral fría,

$$\int_0^{\pi/2} \frac{x\cot (x) - \log (\sin (x))}{x^2+\log ^2(\sin (x))} \, dx =\arctan\left(\dfrac{\ln(\sin(x))}{x}\right) \bigg\lvert _0^{π/2} = \frac{\pi}{2}$$

Tal vez, lo que es más interesante,

$$\int_0^{\pi} \frac{x\cot (x) - \log (\sin (x))}{x^2+\log ^2(\sin (x))} \, dx=0$$