¿Es un complejo finito de CW menos un punto todavía homotopía equivalente a un complejo finito de CW?

Question

Sea $X$ un complejo finito de CW y $x_0$ un punto en $X$.

Mi pregunta es entonces:

¿Es $X-\{x_0\}$ todavía homotopía equivalente a un complejo finito de CW?

Answer 1

La respuesta a tu pregunta es no. Aquí hay un contraejemplo.

Sea $X$ el complejo CW obtenido al unir una celda 2 al espacio $[-1,1]$ a través del mapa adjunto $S^1\cong [-1,1]/(-1\sim 1) \longrightarrow [-1,1]$ dado por (la extensión continua de) $x\mapsto x\sin(1/x)$.

Entonces $X\setminus \{0\}$ es homotopía equivalente a una cuña infinita de $S^1$'s.