Buenas aplicaciones de las formas modulares en $SL_2(\mathbb{Z})$

Question

Acabo de leer algunos materiales de formas modulares en $SL_2(\mathbb{Z})$ , y encontrar alguna aplicación interesante.

1. Trato con Ramanujan $\tau$ función. Lo vi en

¿Por qué es $\tau(n) \equiv \sigma_{11}(n) \pmod{691}$ ? .

Y creo que es realmente un buen ejemplo.

2. Demostrar la conjetura de Ramanujan. He leído la prueba de la conjetura de Ramanujan en

Ahlgren S, Boylan M. Propiedades aritméticas de la función de partición[J]. Inventiones mathematicae, 2003, 153(3): 487-502.

Y creo que no sólo es un buen ejemplo de aplicación sobre formas modulares de $SL_2(\mathbb{Z})$ pero una prueba sorprendente. (Sólo he leído la primera parte).

Realmente quiero más ejemplos de este tipo para ayudarme a entender las formas modulares en $SL_2(\mathbb{Z})$ ¡! ¿Alguien puede mostrarme más como esto? ¿O recomendarme algunas referencias?

Muchas gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Creo que una aplicación realmente sencilla fue en el 2005 Teorema de Hanke-Bhargava .

La prueba demostró que si una forma cuadrática definida positiva con entradas integrales representa los primeros 290 enteros positivos, entonces los representa a todos.

Una forma cuadrática puede ser capaz de "representar un número" (tiene soluciones integrales) de múltiples maneras: $Q(\vec{x})=n$ puede tener múltiples soluciones, que contaremos, llamándolas "número de representación", denotado $r_{Q}(n)$ .

La prueba considera esencialmente una "serie theta", que es una función generadora con $r_Q(n)$ como los coeficientes de Fourier:

$$1+\sum_{n=1}^{\infty} r_Q(k) e^{2 \pi i k z}.$$

Sin embargo, a diferencia del sentido habitual de una función generadora, no es tan importante que se trate de un objeto algebraico formal, sino que visto analíticamente, ¡es una forma modular!

Utilizando la teoría, sabemos que el espacio de las formas modulares (el grupo modular completo) se descompone en el espacio de las series de Eisenstein y de las formas de Cusp (con respecto a un producto interno técnico).

El punto aquí, es que las series de Eisenstein son crecientes y no negativas, mientras que las series de cúspides pueden ser negativas (pero desaparecen como $n \to \infty$ .)

Utilizando la teoría de Siegel, Deligne, Hanke y muchos otros, tenemos formas de calcular la serie de Eisenstein de manera eficiente, y acotar la forma de la cúspide.

En otras palabras, podemos descomponer nuestro número de representación en el siguiente sentido:

$$r_Q(n)=r_{E}(n)+r_{C}(n),$$

por lo que si podemos demostrar que este valor es no negativo para un tamaño suficientemente grande $n$ habremos terminado. La teoría nos permite demostrarlo mediante la descomposición de la forma modular.

Otros documentos relevantes que utilizan métodos similares:

http://www.fen.bilkent.edu.tr/~franz/mat/15.pdf

https://arxiv.org/abs/1111.0979

https://arxiv.org/abs/1608.01656

Aquí hay una exposición más detallada (en forma de diapositivas): http://college.wfu.edu/mathreu/wp-content/uploads/AMS_slides.pdf