Creo que una aplicación realmente práctica fue en el Teorema de Hanke-Bhargava de 2005 Teorema de Hanke-Bhargava.
La prueba mostró que si una forma cuadrática definida positiva con entradas enteras representa los primeros 290 enteros positivos, entonces representa a todos ellos.
Una forma cuadrática podría ser capaz de "representar un número" (tener soluciones enteras) de múltiples maneras: $Q(\vec{x})=n$ puede tener múltiples soluciones, que contaremos, llamándolas "número de representación," denotado por $r_{Q}(n)$.
La prueba considera esencialmente una "serie theta," que es una función generadora con $r_Q(n)$ como los coeficientes de Fourier:
$$1+\sum_{n=1}^{\infty} r_Q(k) e^{2 \pi i k z}.$$
Sin embargo, a diferencia del sentido usual de una función generadora, no es tan importante que esto sea un objeto algebraico formal, ¡sino que visto analíticamente, es una forma modular!
Usando la teoría, sabemos que el espacio de formas modulares (el grupo modular completo) se descompone en el espacio de series de Eisenstein y formas cúspide (con respecto a un producto interno técnico).
El punto aquí es que las series de Eisenstein son crecientes y no negativas, mientras que la serie cúspide puede ser negativa (pero tiende a cero a medida que $n \to \infty$).
Usando la teoría de Siegel, Deligne, Hanke y muchos otros, tenemos formas de calcular eficientemente las series de Eisenstein y acotar la forma cúspide.
En otras palabras, podemos descomponer nuestro número de representación en el siguiente sentido:
$$r_Q(n)=r_{E}(n)+r_{C}(n),$$
entonces si podemos mostrar que este valor es no negativo para $n$ suficientemente grande, habremos terminado. La teoría nos permite mostrar esto a través de la descomposición de formas modulares.
Otros papers relevantes que utilizan métodos similares:
http://www.fen.bilkent.edu.tr/~franz/mat/15.pdf
https://arxiv.org/abs/1111.0979
https://arxiv.org/abs/1608.01656
Aquí hay una exposición más detallada (en forma de diapositivas): http://college.wfu.edu/mathreu/wp-content/uploads/AMS_slides.pdf
