Comparación de topologías mediante conjuntos cerrados

Question

Supongamos que tenemos un conjunto $\mathbb{R}^n$ y una colección $\mathcal{B}$ de subconjuntos de $\mathbb{R}^n$ . Supongamos que hemos demostrado que $\mathcal{B}$ es el conjunto de conjuntos cerrados de una topología $\tau$ de $\mathbb{R}^n$ .

Quiero comparar esta topología con la estándar, $\tau_e$ (la topología euclidiana en $\mathbb{R}^n$ ). Si sé que todos los conjuntos cerrados de $\tau$ están cerradas en $\tau_e$ ¿puedo llegar a la conclusión de que $\tau_e \subseteq \tau$ ?

Answer 1

No, pero puedes concluir que $\tau_e\supset\tau$ . De hecho \begin{align}A\in\tau&\iff A^\complement\text{ is $\tau$-closed}\\&\implies A^\complement\text{ is $\tau_e$-closed}\\&\iff A\in\tau_e.\end{align}