Rango de un tensor descomponible

Question

Estoy estudiando independientemente la obra de Stephen Roman Álgebra lineal avanzada Y me he encontrado con un razonamiento que parece obvio pero que no entiendo, y esperaba que alguien me ayudara a aclararlo.

' $\textbf{The Rank of a Decomposable Tensor}$

Si $\{u_i \; | \; i \in I\}$ es una base para $U$ y $\{v_j \; | \; j \in J\}$ es una base para $V$ entonces cualquier vector descomponible tiene la forma $$ u \otimes v = \sum_{i,j} r_i s_j (u_i \otimes v_j)$$ Por lo tanto, el rango de un vector descomponible es $1$ ya que el rango de una matriz cuyo $(i, j)$ Esta entrada es $r_i s_j$ es $1$ .'

No entiendo cómo una matriz que tiene $(i, j)$ la entrada $r_i s_j$ implica que es el rango $1$ .

Answer 1

El rango es uno siempre que $u\otimes v \neq 0$ . En particular, $u, v \neq 0$ .

Considere la matriz

$$A = \left[\begin{array}{cccc} r_1s_1 & r_1s_2 & \dots &r_1s_n\\ r_2s_1 & r_2s_2 & \dots & r_2s_n\\ \vdots & \vdots & \ddots&\vdots\\ r_ms_1 & r_ms_2 & \dots & r_ms_n \end{array}\right].$$

Tenga en cuenta que

\begin{align*} \operatorname{rank}(A) &= \dim\operatorname{Col}A\\ &= \dim\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{c} r_1s_1\\ \vdots\\ r_ms_1\end{array} \N-derecha], \N-puntos, \N-izquierda[ \begin{array}{c} r_1s_n\\ \vdots\\ r_ms_n\end{array}\right]\right\} \\ &= \dim\operatorname{span}\left\{s_1\left[ \begin{array}{c} r_1\\ \vdots\\ r_m\end{array} \ right], \dots, s_n\left[ \begin{array}{c} r_1\\ \vdots\\ r_m\end{array}\right]\right\} \\ &= \dim\operatorname{span}\left\{\left[ \begin{array}{c} r_1\\ \vdots\\ r_m\end{array}\right]\right\} \\ &= 1 \fin{align*}

como $u = \sum r_iu_i$ donde $u_i$ forman una base y $u \neq 0$ Así que $r_i \neq 0$ para algunos $i$ .

Otra forma de verlo utiliza la noción de producto exterior (véase aquí y aquí ). Sea $v^T = [r_1\ \dots\ r_m]$ y $w^T = [s_1\ \dots\ s_n]$ entonces el producto exterior de $v$ y $w$ es

$$vw^T = \left[\begin{array}{c} r_1\\ \vdots\\ r_m\end{array}\right][s_1\ \dots\ s_n] = \left[\begin{array}{cccc} r_1s_1 & r_1s_2 & \dots &r_1s_n\\ r_2s_1 & r_2s_2 & \dots & r_2s_n\\ \vdots & \vdots & \ddots&\vdots\\ r_ms_1 & r_ms_2 & \dots & r_ms_n \end{array}\right] = A.$$

Como $A$ puede escribirse como la suma de un producto exterior y no menos (porque $A$ no es la matriz cero), $A$ tiene el rango uno.

Answer 2

Dejemos que $r$ sea el vector columna con entradas $r_i$ y que $s$ sea el vector columna con entradas $s_j$ . Entonces, si $M=rs^T$ tenemos $M_{i,j}=r_is_j$ . Claramente $M$ tiene rango uno, ya que sus columnas son todas múltiplos de $r$ .