¿Se puede generalizar esta serie?

Question

Hice una pregunta similar aquí Pero este parece no funcionar tan bien...

Empecé a mirar la serie, $$ S = \frac{1}{2}+\frac{2}{3}-\frac{3}{4}-\frac{4}{5}+\frac{5}{6}+\frac{6}{7}-\frac{7}{8}-\frac{8}{9}+\cdots $$

Lo que equivale a $$ S = \sum_{k=0}^{\infty}[\frac{4k+1}{4k+2}+\frac{4k+2}{4k+3}-\frac{4k+3}{4k+4}-\frac{4k+4}{4k+5}] $$

He encontrado $S = \frac{\pi}{4}-\frac{\ln(4)}{4}-1$

Entonces puse la serie en una forma diferente tal que

$$ S_n = \sum_{k=0}^\infty[\frac{4k+n}{4k+n+1}+\frac{4k+n+1}{4k+n+2}-\frac{4k+n+2}{4k+n+3}-\frac{4k+n+3}{4k+n+4}] $$

$$ S_n = -\sum_{k=0}^{\infty}\frac{2(2n^2 + 16nk+10n+32k^2+40k+11)}{(4k+n+1)(4k+n+2)(4k+n+3)(4k+n+4)} $$

Volviendo a la pregunta que había hecho anteriormente me enteré de que $\psi(1+x)=\sum_{k=1}^\infty \frac{x}{k(k+x)}$ que no parece aplicarse aquí. La serie arroja algunos resultados interesantes

$$ S_1 = \frac{\pi}{4}-\frac{\ln(4)}{4}-1 $$

$$ S_2 = \frac{\pi}{4}+\frac{\ln(4)}{4}-\frac{3}{2} $$

$$ S_3=\frac{\ln(4)}{4}+\frac{1}{6}-\frac{\pi}{4} $$

$$ S_4 = \frac{11}{12}-\frac{\pi}{4} - \frac{\ln(4)}{4} $$

$$ S_5 = \frac{\pi}{4}-\frac{\ln(2)}{2}-\frac{37}{60} $$

Parece que $\frac{pi}{4}$ se produce por cada $n$ valor, me gustaría saber si existe una forma generalizada de esta serie como el resultado que encontré aquí y cómo podría identificar esta forma (si es que existe).

Answer 1

Esto no es ni de lejos una respuesta completa, así que lo he marcado como wiki comunitario.

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$$\frac{n-1}{n} + \frac{n}{n+1} = \frac{n^2 -1}{n(n+1)} + \frac{n^2}{n(n+1)} = \frac{2n^2-1}{n^2+n}$$

Esto significa que cada par de términos consecutivos en su serie original que tienen el mismo signo suman $$\pm \frac{2n^2 -1}{n^2+n}$$ para algunos $n \in \mathbb{Z}$ . Esto da una forma alternativa de escribir su suma:

$$S = \left(\frac{1}{2} + \frac{2}{3}\right) - \left(\frac{3}{4} + \frac{4}{5}\right) + \left(\frac{5}{6} + \frac{6}{7}\right) - \cdots $$

$$S = \frac{2(2^2)-1}{2^2+2} - \frac{2(4^2)-1}{4^2+4}+\frac{2(6^2)-1}{6^2+6}-\cdots$$

$$S = \sum\limits_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{8k^2-1}{4k^2+2k} $$

$$S = \sum\limits_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1} \frac{(4k-1)(4k+1)}{2k(2k+1)}$$