El conjunto de matrices simétricas es un colector.

Question

¿Cómo demuestro que el conjunto de matrices simétricas es un colector de dimensión $n(n+1)/2.$

Lo he intentado utilizando el teorema del valor regular. Para ello considero el mapa $$ f:M(n,\mathbb{R})\to M(n,\mathbb{R}),\ \ A\mapsto A-A^T . $$ Ahora necesito comprobar lo siguiente:

1. $f$ es suave.
2. $Df$ es suryente.

Aquí no sé cómo calcular $Df$ ? Se agradecerá cualquier ayuda.

Gracias.

Answer 1

El conjunto de matrices simétricas es un espacio vectorial, por lo que tiene una carta global y su dimensión es su dimensión como espacio vectorial.

Además, su enfoque está condenado, $f$ no es una inmersión ya que es un mapa lineal no invertible 1 su núcleo es precisamente el conjunto de matrices simétricas. De forma más general, si $0$ es un valor regular de $f\colon\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^q$ entonces $f^{-1}(0)$ es un colector de dimensión $n-q$ . Aquí, significaría que el conjunto de matrices simétricas tiene dimensión $0$ .

Si se quiere utilizar el teorema del valor regular, se puede demostrar que el grupo ortogonal es un colector de dimensión $n(n-1)/2$ .

1: Como mapa lineal, se tiene $Df\equiv f$ su diferencial es constante y es igual a $f$ Además $f$ El hecho de que no sea invertible implica que no es subjetivo, ya que es un endomorfismo de un espacio vectorial de dimensión finita.