Dejemos que $\tau : \mathbb{C} \to \mathbb{C}^2$ sea el mapa $\tau(t) := (t^2, t^3)$ . Demostrar que $\tau$ define un mapa de incrustación de $\mathbb{C}^*$ a $\mathbb{C}^2 \setminus{0}$ . Es $\tau(\mathbb{C})$ un submanifold de $\mathbb{C}$ ?
Nótese que la definición de un mapa de incrustación es un mapa que es holomorfo (es decir, holomorfo a término), inyectivo y propio. Además, un submanifold de $\mathbb{C}^2$ se define como el mapa de incrustación de alguna variedad en $\mathbb{C}^2$ tal que cada punto tiene un jacobiano de rango máximo.
Está claro que $\tau$ es un mapa de incrustación. Quiero demostrar que no es un submanifold. Intuitivamente, sacando $\tau(\mathbb{C})$ se puede ver una "punta afilada" en $(0,0)$ que debería admitir una singularidad. De hecho, se puede comprobar fácilmente que el jacobiano en $(0,0)$ es la matriz cero. Sin embargo, esto no cuenta como una prueba, ya que necesitamos demostrar que no existe tal mapa de incrustación, no sólo $\tau$ . No estoy seguro de cómo proceder.
Se agradece cualquier ayuda.
