Suma de una serie con coeficientes binomiales sin cálculo.

Question

El siguiente problema es de un conjunto de problemas de la escuela secundaria. Los alumnos aún no saben integrar aunque se sienten cómodos con la diferenciación.

El problema es

Demostrar que $\displaystyle S:=\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \frac{\binom{n}{k}}{n+k}= \frac{1}{n \binom{2n}{n}}$ .

Este problema puede resolverse con funciones beta. Resulta que $$ S = \int_0^1 x^{n-1} (1-x)^n dx $$ cuando se expande el integrando usando el teorema del binomio.

Pero, ¿hay otras formas, ojalá elementales, de resolver el problema?

Answer 1

Una técnica habitual es reforzar la hipótesis de inducción.

En particular, integrar y ampliar $x^{m-1}(1-x)^n$ da una pista que podemos considerar utilizar: $$ \sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{n \choose k}{m+k} = \frac{(m-1)!n!}{(m+n)!}$$

Hagamos una inducción para demostrar que es cierto para todos $n$ a partir de $0$ .

Si $n=0$ tenemos $\frac{1}{m}=\frac{(m-1)!0!}{m!}$ .

Dejemos que $0 \leq n$ . Demostremos que es cierto para $n$ implica que es cierto para $n+1$ .

Hemos empezado con el LHS: $$\sum_{k=0}^{n+1} (-1)^k \frac{n+1 \choose k}{m+k}=\sum_{k=0}^{n+1} (-1)^k \frac{{n \choose k}+{n\choose k-1}}{m+k}$$ $$=\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \frac{{n \choose k}}{m+k}-\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \frac{{n\choose k}}{m+1+k} $$

Utilizando la hipótesis inductiva para $n$ : $$=\frac{(m-1)!n!}{(m+n)!}-\frac{m!n!}{(m+n+1)!}$$ $$=\frac{(m-1)!n!}{(m+n)!} (1 -\frac{m}{m+n+1})$$ $$=\frac{(m-1)!n!}{(m+n)!} \frac{n+1}{m+n+1}$$ $$=\frac{(m-1)!(n+1)!}{(m+n+1)!}$$ Por lo tanto, si es cierto para un determinado $n$ , entonces es cierto para $n+1$ , terminando la prueba inductiva.

En particular, es cierto cuando $m=n-1$ demostrando su igualdad inicial.