Encontrar el mapeo lineal entre coordenadas homogéneas de la cámara afín

Question

Si tengo una cámara afín con una relación de proyección regida por:

\begin{equation} \begin{bmatrix} x & y \end{bmatrix} ^T = A \begin{bmatrix} X & Y & Z \end{bmatrix} ^T + b \fin donde A es una matriz de 2x3 y b es un vector de 2x1. ¿Cómo puedo formar una matriz que represente el mapeo lineal entre el punto del mundo $(X,Y,Z)$ y punto de imagen $(x,y)$ si están representados por vectores homogéneos?

Answer 1

Dejemos que $V = [X,Y,Z]^T$ , $A\in\mathbb{R}^{2\times 3}$ , $b\in\mathbb{R}^{2}$ . Entonces: \begin{align} Mh= \begin{bmatrix}A & b \\ 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} V \\ ~ 1 \ ~ - fin {bmatrix} &= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & b_2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X \\ Y \\ Z \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}AV +b \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} = v \fin {align} Hazme saber si quieres que te aclare algo.